
- •Вопрос 1. Численное решение нелинейных уравнений. Два этапа поиска корней уравнения. Графический способ отделения корней уравнения.
- •Вопрос 2. Аналитический способ отделения корней уравнения.
- •Вопрос 3. Методы уточнения корней нелинейных уравнений. Метод половинного деления.
- •Вопрос 4. Метод хорд.
- •Вопрос 5. Метод касательных (Ньютона).
- •Вопрос 6. Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Вопрос 7. Метод итераций.
- •Вопрос 8. Системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- •Вопрос 9. Системы нелинейных уравнений. Метод итераций.
- •Вопрос 10. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Прямые итерационные методы решения слау.
- •Вопрос 11.Слау с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки.
- •Вопрос 12. Решение слау методом итераций. Условия сходимости.
- •Вопрос 13. Решение слау методом Зейделя. Условия сходимости.
- •Вопрос 14. Интерполирование функции. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •Вопрос 15. Конечные разности. Их свойства.
- •Вопрос 16. 1 интерполяционный полином Ньютона.
- •Вопрос 17. II интерполяционный полином Ньютона.
- •Вопрос 18. Интерполяция сплайнами. Кубический сплайны.
- •Вопрос 19. Обработка экспериментальных данных. Этапы решения задачи.
- •Вопрос 20. Метод наименьших квадратов (мнк).
- •21. Линейное приближение квадратов по мнк.
- •Вопрос 22. Квадратичное приближение квадратов по мнк.
- •Вопрос 23. Полиномиальная аппроксимация по мнк.
- •Вопрос 24. Численное дифференцирование. Формула численного дифференцирования, основанная на применении интерполяционного полинома Ньютона.
- •Вопрос 25.Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.
- •Вопрос 26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формулах Лагранжа.
- •Вопрос 27.Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
- •Вопрос 28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
- •Вопрос 29. Численное интегрирование. Метод парабол.
- •Вопрос 30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Вопрос 31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) I порядка. Метод Эйлера.
- •Вопрос 32. Численное решение задачи Коши для оду I порядка методом Рунге-Кутта.
- •Вопрос 33. Система оду I порядка. Метод Эйлера.
- •Вопрос 34. Система оду I порядка. Метод Рунге-Кутта.
- •Вопрос 35. Конечно—разностный метод решения дифференциальных уравнений. Способы аппроксимации производных.
- •Вопрос 36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения II порядка. Построение конечно-разностной схемы.
- •Вопрос 37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно-разностная схема.
- •Вопрос 39. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. L- сторона квадрата, известна. В задаче Дирихле ставится граничное условие граничное условие 1-го рода. Где - известная функция
Вопрос 19. Обработка экспериментальных данных. Этапы решения задачи.
На практике часто возникает следующая задача. Известно экспериментальная таблица где n – количество проведенных экспериментов:
-
xi
x1
x2
…
xn
yi
y1
y2
…
yn
На основе этой
таблице необходимо получить зависимость
между величинами x
и y
.
В общем случае в эту зависимость могут
входить некоторые параметры, поэтому
такая зависимость в более общих случаях
имеет вид
.
Уравнение (1) или
(2) называют уравнением связи или еще
эмпирическим уравнением. Решение этой
задачи проводится в два этапа: 1)
Определение вида ф-ии
.
2) нахождение параметров
Определение вида фун-ии .
В
ид
фун-ии иногда можно определить из
физических или других соображениях.
Например, если рассматривать равноускоренное
или равнозамедленное движение то
пройденный путь S
и t
связаны квадратичной фун-ией:
.
Если теоретическая предпосылка
отсутствует то для определения вида
функции можно использовать графический
способо, который заключается в следующем:
Берется система координат связанная с
хар-ом решаемой задачей. На эту систему
наносят экспериментальные точки. Затем
проводят кривую которая наилучшим
образом соответствует этим экспериментальным
точкам. Сравнивая эту кривую с графиками
известных фун-ий, определяют вид функции
.
На практике отдаю предпочтения наиболее
простым зависимостям. Рассмотрим
некоторые из них: 1) линейная зависимость
,
Введем в рассмотрение k:
(4),
где
.
Если коэффициент ki=const
приближенно равны между собой, то
использование линейной зависимости
яв-ся обоснованным.
Если при этом
,
то достаточно проверить постоянство
.
2) квадратурная зависимость:
Введем в рассмотрение
li:
,
где
Если li≈const, то использование квадратичной зависимости является оправданием.
li – дискретный аналог II производной.
Если при этом
,
то достаточно проверить
Замечание1. Иногда
к простым зависимостям удается привести
другие функциональные связи, н-р, если
имеется зависимость
,
то путем логарифмирования
,
З
амечание2.
Если на всем отрезке [a;b]
трудно определить зависимость, подходящего
для описания экспериментальных данных,
то можно поступить следующим образом,
отрезок [a;b]
разделить на несколько частей и в каждой
из них использовать некоторую простую
зависимость
.
А в точках стыка можно оставить условие,
обеспечивающее непрерывность всей
функции в целом.
Вопрос 20. Метод наименьших квадратов (мнк).
Математически
наиболее обоснованным и эффективным
яв-ся метод МНК. Допустим что первая
часть задачи решается, т.е. определен
вид ур-я связи:
,
где a1,…,am
–неизвестные параметры. Введем в
рассмотрение величину
-
погрешность i-го
эксперимента .
Вводится далее
среднеинтегральная хар-ка
:
-интегральная
сумма
здесь
-
ф-я от неизвестных параметров.
Идея МНК.
Неизвестные параметры a1,…,am определяют так, чтобы величина была минимальной. Таким образом задача сводится к минимизации функциональных переменных.
Такая задача решается с помощью частных производных, находят все частные производные первого порядка и приравниваются к нулю
Систему
(10) называют нормальной системой МНК.
Выведем системы для нормального случая.
Решая эту систему
ур-ий определяют значение неизвестных
коэффициентов и подставляют эти значения
в фун-ю (7). Полученную аппроксимирующую
фун-ю можно использовать для приближенного
вычисления значения величины y
для