Вопрос 12. Решение слау методом итераций. Условия сходимости.

Пусть дана система из n линейных уравнений преобразуем систему уравнение и приведем к следующему виду В частности это можно сделать например, следующим образом выразить x₁ через другие неизвестные, из 2 – го x₂ и тд. Из n-го уравнения x_n, тогда (при этом )(3) введем в рассмотрении квадратную матрицу используя эти обозночения ситемы (2) можно записать в матричной форме (4) . Уравнение (4) решим методом последовательных преблежений. Выберем начальный вектор , пусть , подставим в правую чать уравнение (4) , полученное при этом возьмем за ( следующие приближение) подставим в правую часть уравнения (4), и полученное возьмем за и тд. (5) где k = 0,1,2,3,… формулы (5) в скалярном виде запишется в следующем образом эти формулы можно записать в комплексном виде (7) формулы (5), (6) или (7) порождает последовательность векторов Теорема о сходимости.

Если выполняется одно из условий:1) или

2) при этом в условии (1) хотябы для 1-го i, а в условии (2) хотя бы для 1-го j, должно иметь место строгое неравенство), то итерационный процесс, определенный выше является сходящимся, в качестве следствия рассмотрим условие сходимости относительно матрицы исходной системы. Пусть выполняется 1-ое условие теоремы. Заменим , по формуле (3) (матрица с диагональным преобладанием). Если матрица исходной системы имеет диагональное преобладание то итерационный процесс, определяемый одной из формул (5),(6) или (7) является сходящимся. Вычисления по указанным формулам продолжается до достижения заданной точности. (9) При выполнении этого условия процесс прекращают и за решение принимают последнее(к+1) приближение

Вопрос 13. Решение слау методом Зейделя. Условия сходимости.

Метод Зейделя является модификацией метода итераций отличие этого метода от предыдущего состоит в следующем. При нахождении i-ой компоненты (к+1)приближение, используются уже найденные компоненты (к+1) приближения, т.е. - главное отличие. Сначала система уравнений так же приводится к нормальному виду(матричная форма) . За начальное приближение так же можно брать вектор

Пусть известно приближение, напишем формулы для нахождения (к+1)

к=0,1,2,…

Эти формулы можно записать в компактном виде Условие сходимости. Метод является модификацией метода итераций поэтому условие сходимости остается то же самое(теорема о сходимости и следствие) Вычисления продолжаются до тех пор пока (13) за решение принимают последнее (к+1) приближение . Метод Зейделя обладает большей скоростью сходимости и позволяет найти решение системы за меньший объем вычислений

Вопрос 14. Интерполирование функции. Интерполяционный полином Лагранжа.

В отрезке [a;b] дана система узловых точек. . x_i-узлы интерполяции , их количество (n+1) на отрезке [a;b] узлы изображены произвольным образом . В этих точках значение функции известно а сама функция вообще говоря, неизвестна По этим данным требуется построить полином в степени не более чем n и проходящей через заданную систему точек, т.е. полином удовлетворяющий условию. 1) в степени не более чем n degre P_n(x) .2) Полином через заданную точку . Эти условия называем задача с условием 1)-2). Геометрическая иллюстрация постановки задачи

Т.е. другими словами полином проходит через эти точки, а сама функция вообще говоря неизвестна. По известным значениям функции в ряде точек необходимо восстановить функцию на всем отрезке.

Интерполяционный полином Лагранжа.

Сначала поставим и решим частную задачу . Найти полином , такой что в степени n Легко заметить что P(x) должен иметь следующий вид где c_i-неизвестные коэффициенты. Коэффициент c_i определим из условия частной задачи подставляем в (1) (4)

В ыражение для c_i подставим в формулу (2) Геометрическая иллюстрация задачи.

Проверим действительно ли является решением задачи. degre P_i(x)=n если было бы 0..n но у нас нет x_i поэтому n. Если вместо x подставить x_i d (5) , то P_i(x)=1 если любой другой x_j вместо х, то P_i(x)=0. Задача решена, а ее решение имеет вид (5). Перейдем к решению общей задачи, задачи 1)-2). Нетрудно заметить что решение этой задачи можно выразить через решение частной задачи, следующим образом. Обозначим решение этой задачи L_n(x) нечетное число компонентов. Докажем что L_n(x) является решением задачи1)-2). Проверим уравнения degree L_n(x) . В алгебре многочленов есть такая теория: Степень суммы не превышает максимальной степени слагаемых. Проверим второе условие. Определим значение полинома в произвольной точке x_j

. L_n(x)является решением задачи1)-2). Справедлива следующая теорема: Для заданной системы узловых точек полином L_n(x) определяется единственным образом, т.е. другими словами задача 1)-2) имеет единственное решение. Доказательство: Докажем теорему методом от противного. Пусть имеется 2 решения L_n(x) и Q_n(x)- решение задачи 1)-2). Т.е. каждое из них удовлетворяет условию1)-2). Составим полином r(x) Очевидно degree r(x) . Проверим, сколько корней имеет r(x), проверим не является ли узловые точки корнями r(x) r(x_j)=0 для точки где (j=0,1), получится что r(x) имеет (n+1) корней. Основная теория алгебры- теория Гаусса: Любое алгебраическое уравнение n-го порядка имеет не более чем n- корней(включая компонентные ) Полученное возможно только тогда когда, r(x) тождественно равно 0,тогда по определению. примем к противоречию что вместо p(x) в формулу (6) подставим выражение по формуле (5) . Это есть ИПЛ. Этой формуле можно придать более компактный вид, если ввести в рассмотрение многочлен . Определим значения производной при x=x_i.

Используя формулы (9) и (11), формулу (8) можно записать в следующем виде. Для удобства при программировании удобной является следующая запись. .

Погрешность приближений ИПЛ.

Введем в рассмотрение В любой узловой точке r(x) обращается в 0. . В точке между узлами r(x) Каковы значения r(x) в зависимости от дифференциальных свойств функций?

Теорема 2 Если функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема, а (n+1) производная ограничена на отрезке [a;b], то

Где - максимальное значение .

Определение : говорят что функция f(x) является непрерывной дифференцируемой на отрезке [a;b], если f’(x) – существует и непрерывна. Функцию называют n раз непрерывно дифференцируемой, если существуют все производные до n-го порядка включительно, и все они являются непрерывными функциями.