Вопрос 8. Системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона.

Пусть дана система из n нелинейных уравнений с n неизвестными. скалярная форма записи.*

Здесь F_i- нелинейные функции своих аргументов.

Если ввести в рассмотрение вектор функцию. вектор

Ноль векто , то систему (1) можно записать в векторной форме - векторная форма записи. Метод Ньютона основан на использовании разложения функций F_i в ряды Тейлора. Последовательное приближение к решению системы определяется по формулам k- номер приближения 0,1,2,3,….i-номер компоненты состовляющей приближение по правке их n-ое количество(i=1,n). В каждой итерации находится путем решения системы линейных уравнений. Эта система выводится следующим образом. Запишем разложение функцийF_i( ) в ряды Тейлора в точке x₁, в этих разложениях будем пренебрегать членами, содержащими в квадрате, в кубе и т.д.

Разложение первой функции (в первой окрестности )

Допустим что является решением системы (3), тогда , тогда левые части уравнения системы (3)обратятся в ноль. Мы пологаем что -известно. Можно считать известно. Перенесем F_i в другую часть уравнения со знаком «-».

Основной определитель системы (4) имеет вид -якобиан –основной определитель системы(4). . Необходимые и достаточные условия существования единственности решений системы линейных алгебраических уравнений . При выполнении условия (6) система (4) имеет единственное решение. Решая эту систему линейных уравнений определяем Затем эти поправки подставляют в формулу (2) и находят первое приближение. . Пусть наденое произвольное к-ое приближение , тогда для определения необходимо решить систему (7)

При выполнении условия (8)система (7) имеет единственное решение (8). В Решая систему (7) определяют поправки и находят новое приближение ; к- номер приближения. Каждой к-ой итерации надо решать систему (7). Вычисления по указанным формулам продолжаются до тех пор пока не будут найдены два приближения совпадающие в определенном смысле. Для обычного n-мерного пространства где под близостью векторов понимается близость их соответствующих компонентов, тоесть (9)где ε заданная точность. С учетом формулы (2) условие (9) принимает вид При выполнении этого условия вычисления прекращают и за решение принимают последнее (k+1)приближение, т.е. полагают

Вопрос 9. Системы нелинейных уравнений. Метод итераций.

Пусть дана система из n нелинейных уравнений эта система как указано вопросе 8 может быть записана в векторной форме систему уравнений (1) преобразуем следующим образом если ввести в рассмотрение векторную функцию . Выберем начальное приближение или начальный вектор. начальное приближение. Компоненты первого приближения определяют по формулам пусть найденное произвольное к-ое приближение , тогда компоненты к+1 к=0,1,2,3…. х- номер приближения. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено второе приближение, совпадающее в известном смысле. (5). При выполнении условия (5) Вычисления прекращают и полагают

Утверждение если выполняется одно из условий:1) или

2) то итерационный процесс определяемый формулой (4) является сходящимся, т.е. при приведении исходной системы к виду (2)необходимо следить за выполнением условия утверждения . приведение исходной системы к виду (2).Существуют различные способы для приведения исходной системы к виду (2). Иметься достаточно универсальный способ для приведения: умножаем обе части на матрицу λ Затем к обеим частям прибавим вектор За матрицу λ обычно принимают следующее Здесь