Вопрос 39. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. L- сторона квадрата, известна. В задаче Дирихле ставится граничное условие граничное условие 1-го рода. Где - известная функция

Двумерную область покроем сеткой [0;l] Граница представляет собой квадрат. Произвольные внутренние узловые точки заменим. Для аппроксимации производных 2-го порядка используем формулы центральной разности (n-1)²уравнения.

Для решения полученой системы уравнений более подходящим является итерационный метод, используем метод Зейделя. Выразим из этого уравнения U_i,j через остальные значения соседних точек. . К полученным уравнениям присоединим дискретный аналог граничного условия (2) В это условие производная не входит, поэтому оно заменяется точно через значения функции Для квадрата можно подробно расписать следующим образом. определим метод для решения полученной системы уравнений(метод Зейделя). Если проводить вычисления снизу-вверх слева-направо, то формула (5) Может быть записана следующим образом. к- номер итерации к=0,1,2,3…

Алгоритм реализации.

1) По формуле (7) определим искомое решение на границе области.

2) Зададим начальное приближение. Для этого имеются разные способы:

3) Присвоим к=0

4) по формуле (8)где найдем новое приближение для искомого решения.

5) Определим максимальное отклонение:

6)если мах>ε(заданной точности), то к=к+1и идти к пункту(4) иначе идти к пункту(7).

7)Вывод полученного решения.

Вопрос 40. Приближенное решение обыкновенного дифференциального уравнения. Метод Пикара. Задача1)-2). Заменим эту задачу эквивалентным интегральным уравнением. проинтегрируем обе части уравнения С учетом условия (2) уравнение (4) примет вид Задачу 1)-2) заменим эквивалентным интегральным уравнением(5)

Доказательство 1)-2)=>(5) переход доказали Обратный переход (5) =>1)-2) Продиффиринциируем (5) Интегрирование уравнения (5) решим методом последовательных приближений. y₀-начальное приближение. y₀ подставим в правую часть уравнения(5) Полученное приближение подставим в правую часть уравнения (5) Произвольное n-ое приближение (6) n=1,2,3… Получим последовательность функций 1)Сходится ли последовательность

2) Чему равен

3) ( - точное решение) Равен ли предел последовательности точному решению задачи. Теорема 1 Если функция f(x,y)непрерывна по обеим переменным, существует ограниченная частная по y в рассматриваемой произвольной области, то

Как отличается полученное от ?

Теорема 2 При выполнении условия теоремы 1 имеет место неравенство. М- максимальное значение модуля функции в области G L- константа Липница. где c,d- границы области G декартово произведение отрезков В области G должны выполнятся условия теоремы 1. Поясним область G