Вопрос 36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения II порядка. Построение конечно-разностной схемы.

Процесс решения задачи с помощью МКР условно можно разбить на несколько этапов:

1. создание сетки. 2. Аппроксимация производных входящих в дифференциальные ур-я в узлах сетки. 3. замена исходного диф уравнения система конечно-разностных ур-ий (КРУ). Т.е. исходное Ур-е заменяется системой алгебраических уравнений относительно значений искомого решения в узлах сетки для замыкания этой системы уравнений используются краевые условия, присутствующие в задаче. 4. решение системы алгебраических Ур-ий полученных, на предыдущем этапе. В зависимости от уравнения эта система может быть системой линейных или не линейных уравнений. Следует заметить что существует один важный этап это исследование устойчивости сходимости решения.

Рассмотрим краевую задачу для линейного обыкновенно дифференциального уравнения II порядка.

Условие на левой границе

На правой

Здесь p(x), q(x), f(x) – известные функции

C₁,C₂,d₁,d₂,g₁,g₂- известные константы

a,b – известны

y(x)-? – искомое решение

такую задачу наз-ют 2^х точечной краевой задачей.

1. область одномерная, отрезок [a;b] разобьем на n-равных частей.

Условие (23) на левой границе.

Условие (24) на правой границе.

2. Для аппроксимации производных 1 и 2 порядка, входящих в исходное Ур-е используем формулу центральной разности.

Берем произвольную внутриузловую точку .

Исходное уравнение заменим соответствующим конечно разностных уравнений.

3.

Количество уравнений вида (25) равно количеству внутренних узловых точек, т.е. n-1

Преобразуем полученное уравнение умножим на h².

Сгруппируем подобные члены

для удобство введем в рассмотрение коэффициент

i=(1,n-1)

Используя (28) перепишем (27)

Неизвестными являются y₀,y₁,…,y_n -? (n+1) неизвестно.

Для замыкания системы уравнений используем граничные условия (23), (24).

Усл (24)

Матрица полученной системы является трехдиагональной такие системы обычно решаются методом прогонки. Решив полученную системы уравнений определяем значение искомое решение в узлах сетки. Если матрица системы имеет диагональное преобладание, то определитель не равен 0 и система имеет единственное решение.

Если то очевидно

Учитывая это можно задать условие относительно функции p и шага сетки.

Вопрос 37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно-разностная схема.

1. Диф. уравнения часто используется при моделирования технологических процессов различных физических явлений и т.д. Для однозначного определения процесса к этим уравнениям необходимо присоединить дополнительное условие. Математически это связано с тем что при интегрировании диф. уравнения явл-ся константа интегрирования. Для определения этих констант как раз нужны эти дополнительные условия. Дополнительные условия называют краевыми условиями. Краевые условия делятся на начальные и граничные условия. Начальные условие определяют искомое решение в некоторый начальный момент времени. При t=t₀

Граничное условие определяют поведение искомого решения на границе области. В свою очередь они могут быть одного из трех видов :

1) Граничное условие первого рода.

Пусть для определенности искомое решение яв-ся функцией от двух переменных U=U(x,y).

Д – внутренняя область.

Г – граница области

Математически граничное условие первого рода записывается в виде , здесь -известная функция. В частности она может быть константой. Другими словами в этом случае известны значения искомого решения на границе области

2. Граничные условия 2 рода

Математически запишется следующим образом

n-нормаль к границе, нормальный вектор

Другими словами на границе области известны значения производного по нормали.

3. Граничное условие III рода.

Математическая запись

В этом случае задана минимальная комбинация значений искомого решения производной по нормали на границе области. -константа. Эти граничные условия представляют собой граничное условие более общего вида .Предыдущее условие 1,2 рода могут быть получены как частные случаи условие 3 рода. Если положим , получим первого рода. получим условие второго рода. В соответствии с существующей классификацией различают следующие краевые задачи.

1 задача с начальными условиями (задача Коши).

Граничное условие полностью отсутствует. Обычно начальное условие присутствует в не стационарных краевых задачах.

2. задача с граничными условиями.

При этом граничное условие могут быть одного из 3х рассматриваемых видов. Например, если рассматривается диф уравнение, то к нему могут быть поставлены различные граничные условия Оператор Лапласа

Если к этому уравнению ставиться граничные условия первого рода, то краевую задачу называют задачей Дирихле - Задача Дирихле. Если известна производная по нормали, то эта задача Неймана. - закон Неймана. Смешанная краевая задача. В такой задаче одновременно присутствуют начальные и граничные условия, то есть эта задача является более общей краевой задачей.

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

Под первой краевой задачей лдя такого уравнения понимают следующую краевую задачу Здесь f(x,t),φ(x),ψ₁(t), ψ₂(t) известные функции , l- длинна стержня T- верхняяграница временного промежутка, U(x,t)- искомое решение т.е. задача рассматривается в прямоугольнике. Физический смысл U(x,t) температура в точке стержня в момент времени t. f(x,t) характеризует источники тепла, стоки тепла. Условие 2) задает начальное распределение температуры при t=0 U(x,0) . Условие 3 Граничное условие задает распределение температуры на левой границе в различные моменты времени U(0,t) . Условие 4 задает распределение температуры на правой границе в различные моменты времени U(l,t) Найдем решение краевой задачи метод конечных разностей 1) создадим сетку [0,l] :n [0,t]:m t_j=jτ, проведем отрезки x_i,t_j сетка равномерная в каждом из направлений способа апроксимации производных В зависимости от использования формул (5), (7), или (6),(7) получается различные конечно разностные схемы (КРС). Определение: Шаблоном называется схема временного расположения узловых точек, использованных при конечно разностной апроксимации диф уравнения. Явная схема[(5),(7)].

Произвольные внутренние узловые точки уравнения (1)заменим конечно разностным уравнением используя формулу (5),(7) количество таких уравнений равно количеству внутренних узловых точек m(n-1) преобразуем это уравнение умножим на τ и введем в рассмотрение параметр в это уравнение входит только одно значение искомого решения из (j+1) слоя(i,j+1).

Рассмотренное на рисунке его можно сдвинуть в право. Из уравнения (10) можно явно определить значение искомого решения из (j+1) Где I,j меняется в указанных пределах. К этим уравнениям присоединим дискретные аналоги краевых условий в эти условия производные не входят, поэтому они заменяются точно через значение функции

В результате получим полностью замкнутую систему уравнений.

Алгоритм реализации явной схемы

1) Определим искомое решение на начальном слое, левой и правой границы по формулам (13,14,15)

2) j=0

3) u_i,j+1 = по формуле (12) . Меняем i, рассчистаем искомое решение на очередном слое.

4) увеличиваем j на единицу j=j+1

5) Если , то идти к пункту 3 иначе идти к пункту 6

6) Вывод полученных результатов, завершение работы.

Явная схема реализуется просто однако она имеет недостаток:

Свойство 1. явная схема имеет единственное решение и устойчиво при , при r>1/2, явная схема не устойчивая.

Это свойство накладывает ограничение на выбор временного и пространственного шагов.