Вопрос 28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
Ставится задача вычисления определения, интегралов:
Определение интеграла можно вычислить, по формуле Ньютона-Лейбница,
,
Однако на практике часто возникают следующие трудности:
1) F(x) первообразная не существует в классе элементарных фун-ий, интеграл не берется.
2) F(x) существует и яв-ся слишком сложной фун-ией и вычисление ее значений вызывает большие трудности.
3) Подынтегральная ф-ия задана лишь таблично, в этом случае теряет смысл вообще само понятие первообразной.
В таких случаях для вычисления определенных интегралов используют методы приближенного вычисления или методы численного интегрирования.
Вычисления однократного интеграла наз-ся механической квадратурой, а соответствующие формулы наз-ют квадратурами. Рассмотрим простейшие квадратурные ф-лы и их обобщения для вычисления.
Метод трапеций.
Вычислим определенный интеграл
Пусть положительна и непрерывна
Отрезок [a;b] разобьем на n-равных частей точками xi.
,
проведем прямые x=xi.
Тем самым мы интеграл разбили на сумму
интегралов
,
Площадь заштрихованной полоски заменяется приближенно площадью трапеции.
Заменяя каждое слагаемое в формуле (12) правой частью формулы (13)
,
распишем полученную сумму
в полученной сумме
f(x0)
и f(xn)
встречается только
один раз.
.
Таким образом интеграл на всем отрезке
приближенно равен
- большая формула трапеций.
Введем в рассмотрение
погрешность квадратичной формулы
трапеции
(15) разность между точками значений
интеграла и приближенное значение
интеграла и приближенное значение между
трапециями.
Теорема 2.
Если
существует
и непрерывна на [a;b],
то
Док-во: почти аналогично предыдущему
Вывод:
Сравнение методов прямоугольников, трапеций и парабол на основе теоремы 1,2,3 можно сделать следующий простой вывод. Самым грубым яв-ся метод прямоугольников, а самый точный среди рассмотренных – метод парабол.
Квадратурная формула называется точной, если ее R(f)=0.
Вопрос 29. Численное интегрирование. Метод парабол.
Ставится задача вычисления определения, интегралов:
Определение интеграла можно вычислить, по формуле Ньютона-Лейбница,
,
Однако на практике часто возникают следующие трудности:
1) F(x) первообразная не существует в классе элементарных фун-ий, интеграл не берется.
2) F(x) существует и яв-ся слишком сложной фун-ией и вычисление ее значений вызывает большие трудности.
3) Подынтегральная ф-ия задана лишь таблично, в этом случае теряет смысл вообще само понятие первообразной.
В таких случаях для вычисления определенных интегралов используют методы приближенного вычисления или методы численного интегрирования.
Вычисления однократного интеграла наз-ся механической квадратурой, а соответствующие формулы наз-ют квадратурами. Рассмотрим простейшие квадратурные ф-лы и их обобщения для вычисления.
Метод парабол.
О
трезок
[a;b]
разобьем на четное число n=2k.
,
в качестве элементарного отрезка
.
Покажем крупным планом элементарный
участок. Площадь под кривой заменяется
приближенно площадью под параболой
проведенной через точки A,B,C.
.
Параболу можно определить разными
способами. В качестве параболы, проходящей
через три точки используем первый
интерполяционный полином Ньютона. Для
удобств преобразования рассмотрим
первый элемент участок [x0,x2],
тогда точки
A (x0,f(x0))=(x0,y0)
B (x1,y1)
C (x2,y2)
,
для удобства перейдем к переменной q
,
,
Обобщение этой формулы на произвольные случаи
-малая
формула парабол (малая формула Симпсона)
Интеграл на всем участке
h=const
Т.о.
-большая
ф-а парабол (Симпсона)
Введем в рассмотрение величину
Теорема 3.
класс
k-раз
непрерывно дифференцируемых функций
на отрезке [a;b]
Если
4 раза дифференцируема, то
Вывод:
Сравнение методов прямоугольников, трапеций и парабол на основе теоремы 1,2,3 можно сделать следующий простой вывод. Самым грубым яв-ся метод прямоугольников, а самый точный среди рассмотренных – метод парабол.
Квадратурная формула называется точной, если ее R(f)=0.