61 Вопрос

Теорема о сложении пар сил. Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил  в плоскости характеризуется моментом , а пара сил  в плоскости характеризуется моментом .

Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, . Получаем пару сил .

Что и требовалось доказать.

62 Вопрос

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

63 Вопрос

Лемма о параллельном переносе силы

Докажем лемму: Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Пусть в точке А твердого тела приложена сила F (рис. 4.1). Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F' и F²-, эквивалентную нулю, причем выбираем F'=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F', F"), так как (F',F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F', F") эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M_B(F). Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

64 Вопрос

Приведение плоской системы сил к данному

центру. Теорема Пуансо

Пусть к твердому телу приложена плоская система сил     (рис.1.16). Возьмем в теле произвольную точку   , ко­торую будем называть центром приведения, и приложим к ней по­парно уравновешенные силы     и   . Заметим, что силы     и  образуют при этом пару сил, так что можно считать силу     перенесенной параллельно самой себе в точку     - за­мененной силой    с присоединением пары   . Посту­пив так и со всеми оставшимися силами, мы приведем заданную систему сил к совокупности пучка сил   , приложенных в точке   , и совокупности пар   . Сходящиеся силы имеют равнодействующую  , приложенную в точке     и равную векторной сумме всех сил системы. Эта сумма называется главным век­тором системы и обозначается   .

Пары можно заменить одной результирующей парой с моментом   , равным алгебраической сумме их моментов. Так как момент пары равен сумме момен­тов входящих в нее сил относительно любой точки плоскости пары, то для каж­дой из складываемых пар

.

Поэтому сумма моментов пар равна сумме моментов самих заданных сил отно­сительно точки   , которая называется главным момен­том системы относи­тельно этой точки и обозначается  . Та­ким образом, систему сил, произ­вольно расположенных на плоско­сти, можно заменить совокупностью одной силы   , равной их главному вектору   , и приложенной в произвольно выбран­ном центре приведения, и одной пары, момент которой     равен главному мо­менту     заданных сил относительно центра приве­дения. Это утверждение на­зывается теоремой Пуансо о приведении плоской системы сил к данному цен­тру.

Главный вектор и главный момент системы опре­деляются по формулам:

(1.5)

Главный вектор и главный момент плоской с истемы сил

Рассмотрим плоскую систему сил (F₁, F₂, ..., F_n),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy.

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

R = F₁ + F₂ + ... + F_n =   F_i.

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L_O, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L_O = M_O(F₁) + M_O(F₂) + ... + M_O(F_n) =   M_O(F_i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L_O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом L_O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно центра О.

Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.

Пример. К вершинам квадрата со стороной a = 0.5(м) приложены силы: F₁ = 4(Н); F₂ = F₃ = 8(Н); F₄ = 12(Н). Определить главный вектор этой системы сил и ее алгебраический главный момент относительно центра квадрата О.

Решение. Введем координатную систему Oxy, оси которой параллельны сторонам квадрата ( в такой системе координат расчеты проводятся наиболее простым образом ).

Силы F₂,F₃ образуют пару сил с моментом M₂₃ = -F₂·a=-4(Н·м) и их можно не учитывать при вычислении проекций главного вектора R:

R_х = F_1x + F_4x = -F₁ + F₄= -4 + 12 = 8(Н);

R_y = F_1y + F_4y = 0.

Вычисление алгебраического главного момента L_O проведем с использованием плеч силF₁ и F₄, равных половине длины стороны квадрата (a/2):

L_O = F₁·a/2 - F₄·a/2 + M₂₃ = 1 - 4 + 3 = 0.

Таким образом, для заданной системы сил ее главный вектор равен по модулю R = 8(Н) и направлен вдоль оси Ox, а ее алгебраический главный момент L_O = 0.

Замечание. В случае, когда L_O = 0, главный вектор R является равнодействующей силой заданной системы сил.