59Вопрос

Пара сил. Момент пары сил

Парой сил называется приложенная к твердому телу система двух сил (F,F') , равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны:

F = -F'; F=F'.

Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары; плоскость   , в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело, называется системой пар.

Пара сил не имеет равнодействующей. Она стремится сообщить телу некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется векторной величиной, называемоймоментом пары. Момент пары сил относительно точки O

M_O(F,F') = M_O(F) + M_O(F')

не зависит от выбора точки O и равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы

M(F,F') = M_A(F') = M_B(F) .

Момент пары сил M перпендикулярен плоскости действия пары, направлен по правилу правого винта и равен по модулю произведению модуля любой из сил на плечо пары: M = F · d.

Векторный момент пары сил может быть приложен в любой точке пространства, т.е. является свободным вектором.

Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на тело одинаковое механическое действие.

Эквивалентность пар: действие пары сил на твердое тело не изменится, если

• переместить пару в другое положение в плоскости ее действия;

• плоскость ее действия переместить параллельно самой себе;

• любым образом изменить модули сил и плечо пары, сохранив неизменным их произведение, т.е. момент пары M=F · d.

Сложение пар сил: система n пар сил с моментами M₁,M₂,...,M_n эквивалентна одной паре с моментом M, равным векторной сумме моментов этих пар: M =   M_k.

Условие равновесия системы пар, приложенных к твердому телу: M =   M_k=0.

Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

2 Т. О приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.

Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом M_O системы сил относительно точки О.

Доказательство:

Пусть О – центр приведения. Переносим силы F₁, F₂,…,F_n в точку О: FO=F₁ +F₂+…+F_n= ∑F_k. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁,F₁”)…(F_n,F_n”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M₁=M(F₁,F₁”)=r₁xF₁=M_O(F₁). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду M_O=M₁+…+M₂=∑M_O(F_k)= ∑r_kxF_k => (F₁, F₂,…,F_n) ~ (R,M_O) (не зависит от выбора точки О).

60 Вопрос

Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.

Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил. Перенесем силу  в точку , а силу  в точку . Проведем через точки две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары. Соединим точки  отрезком прямой и разложим силы в точке  и  в точке  по правилу параллелограмма.

Так как, то

Поэтому эквивалентна системе , а эта система эквивалентна системе , так как эквивалентна нулю.

Таким образом мы заданную пару сил  заменили другой парой сил . Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы.

М омент исходной пары сил  численно равен площади параллелограмма , а момент пары сил  численно равен площади параллелограмма . Но площади этих параллелограммов равны, так как площадь треугольника равна площади треугольника .

Что и требовалось доказать.

Выводы:

1.      Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.

2.      У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.