51 Вопрос
Теорема о трех силах
Теорема. Три непараллельные силы, ле-жащие в одной плоскости, могут нахо-диться в равновесии только если линии их действия пересекаются в одной точке.
На рис. показана система трѐхуравнове-шенных сил и , причем линии дей-ствия сил и пересекаются в точке А.
Воспользуемся
аксиомами III и IV, т.е. пе-ренесѐм
силы и в точку А и найдѐм
их равнодействующую . Тогда заданная
система трѐх
сил , будет эквивалентна системе двух
сил и . Эта система (по аксиоме III) может
находиться в рановесии только если
силы и будут лежать на одной пря-мой.
Следовательно, линия действия силы
тоже должна проходить через точку А.
52 Вопрос
В
прямоугольной системе координат XYZ
(рис. 2.1) сила 
задается
модулем 
,
углами QUOTE α,
β, γ 
,
образованными силой
с
осями координат и точкой приложения
силы (точка А). Положение точки Аопределяется
координатами 
.
Углы QUOTE α,
β, γ
называются
направляющими углами. Проекция силы
на
каждую координатную ось равна произведению
модуля силы на косинус направляющего
угла:
(2.1)
Если
же заданы проекции силы 
,
то модуль силы и косинусы направляющих
углов определятся по
следующим формулам:
Геометрический способ сложения сил. Геометрическая сумма (главный вектор) системы сил F1, F2, ..., Fn определяется построением силового многоугольника. Для этого пользуются правилом сложения векторов. В произвольной точке О вектор R, соединяющий начало первого вектора F1 с концом последнего Fn изображает геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:
R = F1 + F2 + ... + Fn = SFk. (k = 1, 2, .., n)
.
Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси:
Fх = |F|Чcosa.
Fх > 0, если 0 <a<p/2; Fх< 0, если p/2 <a<p; Fх = 0, если a = p/2.
Проекция силы на ось и на плоскость
Перейдем к рассмотрению аналитического (численного) метода решения задач статики. Этот метод основывается на понятии о проекции силы на ось. Как и для всякого другого вектора, проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус - если в отрицательном. Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычислении проекции силы на ось, не лежащую в одной плоскости с силой.
Обозначать проекцию силы F на ось Ох будем символом . Тогда для сил, изображенных на рисунке, получим:
.
Но из чертежа видно, что AВ1=F cosα, ЕD1=Q cosβ=-Q cosα1.
Следовательно,
,
.
т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой; если сила перпендикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю.
Проекцией
силы F на плоскость Oxy называется вектор
, заключенный между проекциями начала
и конца силы F на эту плоскость . Таким
образом, в отличие от проекции силы на
ось, проекция силы на плоскость есть
величина векторная, так как она
характеризуется не только своим
численным значением, но и направлением
в плоскости Oxy. По модулю Fxy=F cosθ, где θ
— угол между направлением силы F и ее
проекции Fxy. В некоторых случаях для
нахождения проекции силы на ось бывает
удобнее найти сначала ее проекцию на
плоскость, в которой эта ось лежит, а
затем найденную проекцию на плоскость
спроектировать на данную ось. Например,
в случае, изображенном на рисунке,
найдем таким способом, что
Способ двойного проецирования.
Суть
способа состоит в том, что вначале
находят проекцию силы на плоскость,
в которой эта ось расположена, а затем
– проекцию полученного вектора на ось.
Так, для определения проекций силы 
на
оси (
рис.
2.1) вначале находим проекцию силы на
плоскость xOy и
получаем вектор
,
а затем
;
.
Проекцию
силы на ось z находим
по обычному правилу, т.е.
.