29. Деякі типи функцій: монотонно зростаючі (спадаючі), обмежені й необмежені, парні й непарні, періодичні

Нехай на множині Х задана функція y = f(x). Якщо для всіх x1, x2 ∈ X з умови x1 < x2 випливає нерівність f(x1) < f(x2), то функція називається монотонно зростаючою (рис. 1.1 а), якщо ж виконується нерівність f(x1) > f(x2), то функція називається монотонно спадною

Множина Х називається симетричною множиною, якщо x X існує (−x) X. Функцію f(x), визначену на симетричній множині Х, називають парною, якщо для всіх xєX виконується рівність f(−x) = f(x), і непарною, якщо f(−x)= − f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі Oу, а графік непарної функції симетричний відносно початкукоординат. Функція f(x) називається періодичною, якщо існує таке числоT ≠ 0, що f(x ± T) = f(x) для всіх x X. Найменше число Т, що має таку властивість, називається основним періодом функції. Нехай функція y = f(x) задана на множині Х.Якщо існує таке число М, що f(x) ≤ M для всіх x∈X, то кажуть,що f(x) обмежена зверху. Якщо число M не існує, то ка-

жуть, що f(x) необмежена зверху.Якщо існує таке число m, що f(x) ≥ m для всіх x∈X, то кажуть,що f(x) обмежена знизу. Якщо число m не існує, то кажуть, що f(x) необмежена знизу.Якщо існує таке число c > 0, що | f(x)| ≤ c для всіх x X, то кажуть, що f(x) обмежена. Обмеженість функції означає їїобмеженість зверху і знизу.

30.Числова послідовність, види числової послідовності. Границя числової послідовності. Основні теореми про границю.

Функцію xn = f(n), задану на множині натуральних чисел N (n N),називають числовою послідовністю і позначають { } { , , ..., , ...}Числа x1, x2, …, xn,… називають членами (елементами) послідовності,xn – загальним (n-м) членом, а n – його номером. Кажуть ще, що змінна x пробігає значення послідовності { }Загальний член послідовності є функцією від номера n: xn = f(n),n N. Послідовність {xn} називається обмеженою зверху (знизу), якщо всі її члени не більші (не менші) деякого числа M: xn ≤ M, (xn ≥ M) (n N). Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо всі її члени за модулем не більші деякого додатного числа M: |xn| ≤ M, (n N, M > 0).

Послідовність {xn} називається зростаючою (неспадною), якщо для будь-якого n виконується нерівність xn+1 > xn (xn+1 ≥ xn).Послідовність {xn} називається спадною, якщо

для будь-якого n виконується нерівність xn+1 < xn (xn+1 ≤ xn).Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні послідовності називаються монотонними.Число а називається границею послідовності { },якщо ε> 0,

існує таке натуральне число N = N(ε), що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність |xn–a|< ε. У цьому випадку кажуть, що послідовність {xn} збігається до числа а, і записують це так: =a.