13.Скалярний добуток векторів і його властивості. Модуль вектора, кут між векторами, напрямні косинуси вектора. Необхідна й достатня умови перпендикулярності двох векторів.

Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Геометричні властивості:

1) Як що скалярний добуток , то кут -гострий

2) Скалярний добуток <0, -тупий

Алгебраїчні властивості:

1)

2)

3)

Довжина вектора – відстань відстань від початку до кінця вектора. Вектор, довжина якого=1 називається одиничним. Вектор, довжина якого=0 називають нульовим вектором.

Скалярним добутком двох векторів простору називається число , яке дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів

.

Властивості скалярного добутку:

.

.

Для будь-якого дійсного числа

.

тільки у випадку, коли є нуль- вектор, тобто . У всіх інших випадках .

Модулем (довжиною) вектора   називається довжина відповідного напрямленого відрізка AB й позначається як  .

У евклідовому n-вимірному просторі довжина вектора обчислюється наступним чином: Нехай вектор   має координати (x1,x2,...,xn). Тоді  .

Кут між векторами

14.Векторний добуток векторів і його властивості. Геометричні застосування векторного добутку.

Упорядкована трійка некомпланарних векторів a, b, c, зведених в одну спільну точку називається правим базисом, якщо з кінця с найкоротший поворот від a lj b видно проти годинникової стрілки. В противному разі трійка векторів називається лівою, або лівим базисом.

Векторним добутком називається вектор c, який записують у вигляді:

c=a*b і якщо задовольня\ться умова:

1) c перпендикул. a, c перпендикул.b

2)| c | = |a |* | b | *sin γ

3) Якщо вектори записують у вигляді а. в. с, то вони повинні утворювати праву трійку векторів:

S_{паралелог.}= | a| | b| sinγ=c

Геометричні властивості:

А) a×b=0  a || b умова колінеарності векторів

Б) | c | = | a| | b| sin γ= S_{паралелог.}

Алгебраїчні властивості:

1. a × b= -b × a

2. λ a × b = a × λ b

15. Мішаний добуток векторів і його властивості. Обчислення об’ємів паралелепіпеда, призми, пірамід. Необхідна й достатня умови компланарності 3-х векторів

Називається число рівне ( a [ b × c]). Спочатку знаходиться векторний добуток b × c = α , потім скалярний добуток a *α

Геометричні властивості змішаного добутку:

1. Якщо змішаний добуток =0, то вектори a b c компланарні.

2. Об'єм паралелограма побудованого на цих векторах визначається формулою V= | a b c | , при чому змішаний добуток :

( a [ b × c ])= { -V якщо утв. Ліва трійка векторів

{ V якщо утв. Права трійка векторів

Основна алгебраїчна властивість змішаного добутку полягає в тому, що циклічна перестановка векторів не змінює його величини

( a [ b × c ] )= b [ c × a ] = c [ a × b ]

Якщо вектори задані в ортонормованому базисі, то змішаний добуток визначається:

abc = |a_x a_y a_z |

| b_x b_y b_z|

| c_x c_y c_z |

V= .- Об’єм паралелепіпеда

V= - Об’єм трикутної піраміди

Необхідною й достатньою умовою компланарності трьох векторів

є рівність нулю їх мішаного добутку:

( × )× = 0 вектори , , компланарні.

5. Якщо ( )· > 0 − трійка векторів , права

( )· < 0 − трійка векторів , , ліва.