8.Метод Гауса.

Метод Гауса-це метод послідовного вилучення невідомих. За допомогою елементарних перетворень систему можна звести до рівносильної трапецієвидного або трикутного виду

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих Вважаємо, що серед коефіцієнтів при невідомому є відмінні від нуля. Нехай таким буде . Тоді перше рівняння системи (1)

почленно ділимо на і одержуємо

. (2)

Рівняння (2) множимо на і сумуємо з другим рівнянням системи (1); на і сумуємо з третім рівнянням; ..., на і сумуємо з -им рівнянням системи (1). Одержуємо систему, -е рівняння якої не містить невідоме .

Аналогічно, послідовно вилучаючи , одержуємо систему, що має вигляд . (3)

Поетапно піднімаючись знизу вгору в системі (3), знаходимо .

9.Метод Жордано Гауса.

Метод Жордано Гауса -це метод повного вилучення невідомих. На першому кроці ми виключаємо змінну X1 з усіх рівнянь системи крім першого.На другому кроці виключаємо змінну X2 з усіх рівнянь крім другого, на третьому кроці виключаємо змінну X3 з усіх рівнянь крім третього, на n-ому кроці змінна Xn виключається з усіх рівнянь крім n-ого рівняння.

Запишемо так звану розширену матрицю системи

(1)

. (2)

За допомогою еквівалентних перетворень: на першому кроці ми виключаємо змінну з усіх рівнянь системи крім першого, на другому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім другого, на третьому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім третього, на n-ому кроці змінна виключається з усіх рівнянь крім n-ого рівняння. Матрицю (2) приводимо до вигляду

. (3)

Тоді з (3) знаходимо послідовно ,

Якщо за допомогою еквівалентних перетворень розширену матрицю В (2) системи (1) привести до вигляду

, (4)

то отримаємо систему розв’язану методом Жордана-Гаусса.

10.Однорідні cлар, Їх тривіальне розв’язання

Система лінійних алгебраїчних рівнянь називається однорідною, якщо всі її праві частини дорівнюють нулю, тобто

(1)

Система (1) завжди сумісна (оскільки розширена матриця одержується із матриці коефіцієнтів шляхом додавання нульового стовпця, що на ранг не впливає).

Якщо ранг матриці коефіцієнтів r дорівнює кількості невідомих n, то система (1) має тільки тривіальний розвязок:

.(2)

Якщо ж  , то система має нескінченну множину розвязків. Щоб їх знайти, записуємо еквівалентну систему системі (1). А вже для еквівалентної системи застосовуємо один із вищезгаданих методів розвязування. Знаходимо загальний розвязок. Якщо ж потрібно знайти якийсь частинний розвязок, то довільним невідомим надаємо фіксовані значення.

11.Вектори. Лінійні дії над векторами. Властивості. Довжина вектора. Кут між векторами. Відстань між 2-ма точками. Проекція вектора на вісь. Координати вектора.

Геометричний вектор-це напрямлений відрізок прямої. Довжина вектора – відстань відстань від початку до кінця вектора. Вектор, довжина якого=1 називається одиничним. Вектор, довжина якого=0 називають нульовим вектором. Два вектори називаються рівними, якщо рівні їх довжини, вони паралельні і напрямлені в одну сторону. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній або паралельних прямих. Вектори наз. компланарними, якщо вони в одній площині, або паралельних площинах. Під лінійними операціями над векторами розглядають додавання, віднімання і множення вектора на число. Якщо вектор заданий двома точками, то тоді координати = від координат кінця віднімаємо координати початку. Координатами вектора називають його проекцію на координатну вісь. Проекцію на вісь L називають число, яке = довжині вектора , взяте із знаком «+», або -, в залежності від того, як напр. вектор , в ту, чи протилежну сторону осі L.

Властивості:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)