57.Інтегруваання методом заміни змінної.
Нехай потрібно знайти ∫f(x)dx, причому безпосередньо підібрати первісну F(x) для ф-ї f(x) не можемо,але знаємо, що вона існує. Зробимо заміну змінної в підінтегральний вираз: нехай x=j(t) де j(t) – неперервна, з неперервною похідною, яка має обернену ф-ю dx=j’(t)dt. Доведемо, що в цьому випадку має місце наступна формула ∫f(x)dx=∫f(j(t)*j’(t)dt). Проінтегруємо ліву і праву частини формули. (∫f(x)dx)’x=f(x)
∫f(j(t)j’(t)dt)’x=f(j(t))j’(t)t’x
dx=j’(t)dt dx/dt=j’(t) dt/dx=1/j’(t)
Тоді,маємо f(j(t))j’*1/j’(t)=f(j(t))
Таким чином ми показали, що похідні від лівої і пр. частини рівні.
58. Формула інтегрування частинами для невизначеного інтеграла.
∫udv =uv −∫vdu.
59. Інтегрування простіших дробів I і II типів.
1)
;
2)
;
A,B,a-сталі;
k-ціле,
k
2;
1)
dx=
=A
=
A
+C=A
+C
2)
dx=
=A
dt=A
+C=
+C
60. Інтегрування простішого дробу III типу
;
=
=A
61.Розклад правильного раціонального дробу на прості(схема інтегрування найпростіших дробів)
Для інтегрування рац. дробів де Pm(x) Qn(x) є многочлени з дійсними коефіцієнтами виконують 3 пункти
1).у випадку , якщо дріб неправильний його представляють у вигляді алгебраїчної суми многочленів і правильного дробу
m>n R(x)=Rm(x)/Qn(x)=M(x)+P(x)/Qn(x)
2) Правильний залишковий дріб розкладають на найпростіші дроби.Для цього знаходять корені знаменника з р-ня Q(x)=0 і розкладають знаменник Q(x) на множники.При цьому можливі 3 випадки:
a)Q(x)=0 має лише прості дійсні корені x 1не=x2 не=x 3не =xn
Qn(x)=(x-x1)(x-x2)….(x-xn)
А правильний залишковий дріб P(x)/Qn(x) розк. на суму найпростіших дробів 1 типу P(x)/Qn(x)=A1/(x-x1)+A2(x-x2)+……+An/x-xn
б)корені знаменника дійсні, при чому деякі з них кратні
в)серед коренів знаменника є прості, кратні і комплексні (мі, що не повторюються, тобто різні)
3)Знах. інтеграли від виділеної частини і всіх найпростіших дробів методами, які розглянуто вище, а потім результати складають.
62.Інтеграли від ірраціональних ф-цій
Не від всякої іррац. Ф-ції інтеграл можна виразити через елементарні ф-ції.Розглянемо ті іррац. ф-ції інтеграли від яких за доп. підстановок зводяться до інтегралів від рац. ф-цій, а значить до кінця інтегруються
∫R(x,xm/n…….xr/s)dx
Над величинами x, xm/n , xr/s виконується тільки рац. операції (піднесення до степеня, множення на число,додавання, віднімання і ділення).Нехай К – спільний знаменник дробів.Зробимо підстановку
x=tk dx=ktk-1dt
Тоді, кожна дробова степінь х виразиться через цілий степінь t і отже підінтегральна ф-ція перетвориться на раціональну ф-цію від t, а значить до кінця буде інтегруватися.
Розглянемо інтеграл виду
∫R(x(ax+b/cx+a)m/n,…..(ax+b/cx+a)r/s)dx
Цей інтеграл зводиться до інтегралу рац. ф-ції за доп. перестановки ax+b,cx+d=tk,де л спільний знаменник дробів m/n і т.д.
63. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.
а)
Розглянемо функцію виду:R(sinx, Cosx)dx,покажемо цей інтеграл за допомогою підстановки t = tg x/2/, яка наз. Універсальною, завжди зводиться до інтеграла від ірраціональних функцій.
1)Якщо функціяR(sinx,cosx)-непарна відносно sinx, тобто R(-sin x; cosx)=-R(sinx;cosx)/тоді застосовують підстановку /t=cos/ ( по модулю).
2) Якщо функція R(sin x;cosx)- непарна відносно cos, тобто R(sinx;-cosx)=-R(sinx; Cosx), тоді /t=sinx/.
3) Якщо функція R(sinx;cosx)-непарна відносно sinx I cosx, тобто R(-sin x; -cosx)=R(sinx;cosx),тоді /t=tgx/.
б)
1)m або n є непарне додатне ціле число;
m = 2k+1>0, /t = cos/
n = 2k+1>0, /t = sinx/.
2) Якщо m+n є парне від’ємне число, m+n = 2k<0, тодіt = tg x.
3)Якщо m і n є парні додатні числа, то m = 2k>=0;
m=2k>=0, тоді користуються формулою:
Ці формули дозволяють звести дані інтегралу до інтегралів від const і непарних степенів cosx і sinx.
в) добуток синусів і косинусів.
CosL*cosB= ½(cos(L-B)+cos(L+B)).
cosL*sinB=1/2(sin(L-B)+sin(L+B))
sinL*sinB= ½(cos(L-B)-cos(L+B))
Дані формули дозволяють представити добутки sin і cos у вигляді лінійної комбінації тих же функцій, але з другими аргументами.