54. Дослідження функції на опуклість, увігнутість. Точки перегину.

Означення: графік ф-ї y=f(x) називається опуклим на інтервалі (а,в) якщо графік розташований нижче любої дотичної , проведеної до графіка ф-ї в точках інтервала (а,в).Означення: графік ф-ї y=f(x) називається угнутим на відрізку (а,в) якщо графік розташований вище любої дотичної , проведеної до графіка ф-ї в точках інтервала (а,в). Достатня умова опуклості графіка ф-ї: нехай ф-я y=f(x) визначена і двічі неперервно диференційована в точці „х” інтервала (а,в). Тоді, якщо у всіх точках „х” інтервала (а,в) друга похідна у^// >0, то графік ф-ї буде угнутим(U). Якщо для любого „х”, що належить (а,в) у^//<0, то графік ф-ї опуклий(∩).

Означення. Точка, яка відділяє опуклу частину неперервної кривої від угнутої наз. т. перегину.

Необхідна умова існування т. перегину.

1. Якщо ф-ція y=f(x) має неперервні похідні до 2-го порядку включно на [а; b], а т. Р₀ (х_о ; f(х_о )) є т. перегину графіка ф-ції, то f’’(х_о )=0.

2. Доведення. Так як т. Р₀ (х_о ; f(х_о )) є т. перегину графіка ф-ції, то зліва і справа від цієї т. y’’ має різні знаки, але за умовою теореми f’’(х) – неперервна ф-ція, тоді за властивістю неперервних ф-цій на відрізку f’’(х_о )=0, х_о є [а; b].

Достатня умова існування точок перегину.

Якщо ф-ція y=f(x) двічі неперервно-диференційована на [а; b] і при переході через т. х_о є [а; b] f’’(х) змінює свій знак, то т. Р₀ (х_о ; f(х_о )) є т. перегину графіка ф-ції.

1. x<х_о , f’’(х)>0 - y=f(x) – опуклий

2. x> х_о , f’’(х)<0, y=f(x) – угнутий

3. x< х_о , f’’(х)<0, y=f(x) – угнутий

4. x> х_о , f’’(х)>0, y=f(x) – опуклий

55. Асимптоти кривої.

Означення. Пряма А наз. асимптотою кривої, якщо відстань δ від змінної т. М (х, y) кривої до цієї прямої при віддаленні т. М в ∞ → 0.

Означення. Пряма y=а наз. вертикальною асимптотою, якщо lim f(x)= ±∞ (або lim f(x)= ±∞, або lim f(x)= ±∞). Тобто вертикальні асимптоти слід шукати серед т. розриву ІІ роду.

Пряма лінія y=kx+b наз. похилою асимптотою, де k= lim , b= lim(f(x)- kх). Якщо k=0, то похилих асимптот немає.

y= b – горизонтальна асимптота.

Доведення. Нехай т. М (х, y) є l. MP ┴ NP, MP=δ, δ→0, x→∞. N(x, y) Є A, φ – кут між асимптотою і додатнім напрямом осі ОХ. В ∆ МNP MP – катет, MP=МNcos φ. МN= . Якщо MP→0, х→∞, то МN→0, х→∞. МN= у-у= f(x)- (kх+ b).

у= kх+ b – р-ня асимптоти. Знайдемо –

lim МN= lim (f(x)- kх- b)= lim х( -k- )= lim х( -k)=0 → lim( -k)=0. Отже, k= lim . Якщо b відоме, то із рівності lim (f(x)- kх- b)=0 можна знайти b. b= lim(f(x)- kх). Таким чином, у= kх+ b – похила асимптота, k= lim , b= li

56.Первісна і її властивості. Невизначений інтеграл і його властивості. Основні правила інтегрування.

Нехай дано ф-цію у= f(x).Необхідно знайти таку ф-цію F(x), пох. від якої дор.f(x),тобто F’(x) = F(x).

Ф-ція F(x) наз. первісною для ф-ції F(x) на [a,b], якщо у всіх точках цього відрізку виконується рівність F’(x)=f(x).

Первісна має наступні властивості:

1.Якщо F(x) є первісною для ф-ції f(x), то F(x)+c,c=const також є первісною для ф-ції f(x) .Дійсно (F(x)+c)’=F’(x)+0=f(x).

2.Якщо F₁(x) і F₂(x) для f(x) то F₁(x)-F₂(x)=c,c=const

Доведення

F₁(x)-F₂(x) – деяка ф-ція, що залежить від х .Тоді її похідна буде дор. F₁‘(x)-F’₂(x)=f(x)-f(x)=0 => F₁(x)-F₂(x)=c,c=const.

3.Якщо F(x) первісна f(x),то ф-ція f(ax) має первісну 1/a F(ax).Дійсно (1/aF(ax))’=1/a F’(ax)=f(ax)/

4.F(x) первісна для f(x), то ф-ція F(ax)+b) має первісну 1/bF(ax+b).Дійсно (1/aF (ax +b))’=1/aF’(ax+b)a=F’(ax+b)=f(ax+b).

Невизначеним інтегралом ф-ції F(x)на відрізку [a,b] наз. множина всіх первісних даної ф=ції на даному інтервалі виду F(x)+c де F(x) - одна із первісних, а c=const.

Властивості:

1.Похідна від невизначеного інтегралу дор. підінтегральній ф-ції.

2.Диференціал від невизначеного інтегралу дор. підінтегральному виразу.

3.Невизначений інтеграл від диференційованої ф-ції дор. цій ф-ції складеній з довільного стану.

4.Сталий множник можна виносити за знак інтегралу.

5.Сума або різниця ф-цій дор первісній суми або різниці цих ф-цій.

.Безпосереднє – це знаходження невизначеного інтеграла з використанням його властивостей, таблиці інтегрування інтегралів і в разі необхідності тотожних перетворень підінтегральної ф-ції.

2.Інтегрування частинами – це знаходження інтеграла за допомогою спеціальної формули, що має назву формули інтегрування частинами. ∫xdv=uv-∫vdu. d(uv)=(uv)’dx=(u’v+uv’)dx=u’vdx+uv’dx=vdu+udv. ∫d(uv)= ∫vdu+∫udv. Uv=∫vdu+∫udv.

Ця формула заст. в тих випадках, коли під знаком інтегралу знах. добуток двох функцій: алгебраїчної та геометричної. Вираз розділяється на дві частини, які позначаються через “u” та “dv”. Після цього виконуємо обчислення за формулою.