47.Диференціал функції. Застосування диференціала в наближених обчисленнях. Геометричний зміст диференціала і його властивості. Інваріантність.

Диференціалом функції у = f(x) назив головна частина приросту функції, лінійна відносно ∆х і позначається dy = y^/_x * ∆х. Знайдемо диф функції у=х, dx= (x)^/ *∆х=∆х. Таким чином, дифер незалежної змінної х дорівнює її приросту. А тому диференціал іноді записують dy = y^/ dx.

Властивості диференціала:

1.d(c)=0

2.d(cu)=cu^/dx

3.d(u±v^/)=du±dv^/

4.d(uv)^/=vdu+udv

5.d(u/v)=(vdu -udv)/v²

Геометричний зміст диференціала:

Розглянемо функцію у = f(x) і її графік. Незай точка М(х_о;у_о) належить графіку. Через М₀ проведемо дотичну М₀Т до графіка під кутом α до додатного напрямку осі ОХ. Нехай х₀ одержав приріст ∆х. Тоді і у₀ одержав приріст ∆х. В ∆М₀NP: NP= ∆х* tg α = y^/(x₀)* ∆х= dy. Таким чином , диференціал функції- це приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) в даній точці, коли аргумент х одержує приріст ∆х.Але не завжди dy<∆y.

Інваріантність:

Відомо , що dy = y^/dx.Нехай задано функцію y=f(u), де u=u(x). Знайдемо диференціал складної функції. dy = f^/_u * u^/_xdx. dy= f^/_u*(d_u/d_x)*dx= f^/_u *d_{u. Замітимо, що формула} має такий же вигляд, як і для простої функції. Ця властивість називається інваріантність(властивість зберігати незмінною свою форму, незалежно від того задається функція аргументом х, чи функція від функції).

49. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа і їхня геометрична інтерпретація

Теорема Ролля. Якщо ф-я f(x) неперервна на відрізку [а,в], диференційована в усіх внутрішніх точках цього відрізка, на кінцях відрізка обертається в нуль, то всередині відрізка [а,в] існує точка „с” така, що f^/(c)=0. a<=c<=b.Теорема Лагранжа. Якщо ф-я y=f(x) неперервна на відрізку (а,в) і диференційована в кожній точці цього відрізка, то всередині відрізка (а,в) знайдеться така точка „с” (принаймні одна) , що f(b)-f(a)/b-a=f^/(c).Tеорема Ферма Якщо функція y = f(x) визначенав деякому околі точки х0, приймає в цій точці найбільше(найменше) значення з околу, що розглядається і має в точці х0похідну, то f ′(x0) = 0

Геометричний зміст теореми Ролля.Серед усіх дотичних до графіка функціїy = f(x) знайдеться принаймні одна, паралельна осі Ox. Геометричний зміст теореми Лагранжа: серед усіх дотичних до графіка функції y = f(x)знайдеться принаймні одна, паралельна січній АВ

50. Теорема Коші.

Теорема Коші. Якщо функції y=f(x) і y=g(x) неперервні на відрізку (а,в), диференційовані у всіх внутрішніх точках цього відрізку , при чому g^/(х) не =0 в жодній точці цього відрізка, тоді всередині відрізка (а,в) існує така точка „с”, що f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f^/(с)/g^/(c).А<c<b.

51. Правило Лопіталя. Розкриття невизначеностей.

Правило Лопіталя. Якщо ф-ї y=f(x) і y=g(x) на відрізку (а,в) задовольняють умовам теореми Коші і обертаються в нуль, при х=а, тобто f(a)=g(a)=0, тоді якщо існує границя lim f^/(х)/g^/(х), то існує границя lim f(x)/g(x), при чому lim f(x)/g(x)=lim f^/(x)/g^/(x).