41. Основні правила диференціювання. Похідна суми, різниці, добутку й частки. Похідна складної функції.

Правила диф.:

1.(с)^/= 0, с = сonst

2.(сu)^/=cu^/, c= const.

3.(u+v)^/= u^/ + v^/

4.(uv)^/ = u^/v + uv^/

5.(u/v)^/ = (u^/v – uv^/)/v²

6. (xyz)^/ = x^/yz + xy^/z+ xyz^/

Якщо функція u=γ(x) має похідну u_x^/ в деякій точці х, а функція у=f(γ(x)) має похідну f_u^/ в деякій точці u, то функція у= f(γ(x)) має похідну у_х^/ в деякій точці х, яка знаходиться за формулою у_х^/= f_u^/* u_x^/. Тобто , похідна складної функції по аргументу х дор добутку похідної даної функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргумента.

Таблиця похідних складної функції:

1. (с)^/= 0, с = сonst

2. (uⁿ)^/= nu^n-1*u_x^/

3. (1/u)^/= -1/u² * u_x^/

4. (√u)^/= 1/2√u * u_x^/

5. (e^u)^/= e^{u *} u_x^/

6. (a^u)^/=a^uln_a * u_x^/

42. Похідна оберненої функції. Похідні функцій

Якщо для функції y = f(x) існує обернена функція х = φ(у), яка вточці у має похідну φ′(у) ≠ 0, то у відповідній точці х функція f(x) також має похідну: (x)= .

(arcsinx)’= ;

(arcosx)’=

(arctgx)’= = = =

(arcctgx)’=( -arctgx)’=-

43.Логарифмічне диференціювання. Неявні функції і їх диференціювання.

Логарифмічне диф:

Нехай задано функцію у=α(х) ^β(х). Щоб знайти похідну цієї функції потрібно спочатку про логарифмувати обидві частини функції.

lny = ln α(х) ^β(х) = β(x) * ln α(х) . А потім про диференціювати в припущенні що

1/у * у^/= β^/(x) * ln α(х) +( β(x)* α^/(х)/ α(х))

y^/=[ β^/(x) * ln α(х) + β(x)*( α^/(х)/ α(х))] y = [ β^/(x) * ln α(х) + β(x)*( α^/(х)/ α(х))] α(х) ^β(х)

Логарифм диф застос тоді, коли функція представлена як добуток декількох функцій і при диф степенево-показникових функцій.

Неявні функції:

Якщо залежність між х і у задано формулою, з якої неможна виразити ні х ні у , то кажуть, що функцію задано неявно. Щоб про диференціювати функцію необхідно:

1.Диференціюють ліву і праву частину формули по змінній х в припущенні, що у – функція від х і результат прирівнюють до 0.

2.З одержаного рівняння знаходять у^/.

44 Похідні елементарних функцій. Таблиця похідних

Знайдемо похідні основних елементарних функцій:

1. Якщо f(x) = C = const, то ΔС= 0, тому С'= 0.

2. y = sinx; cosx

3. y = cosx;

4. (tgx)’=

45.Параметричне задання функції.Похідна від функції заданої параметрично

Поряд з явним і неявним заданням функції використ параметричне. При параметр заданні функції х і у є функції деякої змінної t, яка називається параметром. Кожному значенню параметру t відповідають значення х і у. Якщо х і у розглядати як координати точки на площині, то кожному параметру t відповідає певна точка площини. Якщо t змінюється від T₁ до T₂ , то ця точка буде описувати деяку криву.

y^/_x= f^/_t / γ^/_t – похідна від функції, заданої параметрично.

46-48.Похідні вищих порядків.

Нехай ф-я у=f(x) диференційована на всій числовій осі. Похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку. у^/=f^/(x),(y/)=f^//(x). Часто трапляється що похідна другого порядку також є диференційованою ф-єю. Тоді похідну 3-го порядку знаходять як похідну від похідної 2-го порядку.(у^//)=f^///(х).Похідною к-го порядку називається похідна від похідної к-1го порядку:

(у^(к-1) )^/=f^(k)(x).

Похідні вищих порядків від ф-ї, заданої неявно. Нехай ф-я задана неявно F(x,y)=0 або у^/=f(x,y) (1).

Враховуючи, що у є ф-я від х, продиференцюємо ліву і праву частину рівності (1) по аргументу х, а потім у правій частині замінимо у^/ рівністю (1).Аналогічно поступаємо при визначенні похідної більш високих порядків.

Похідні вищих порядків від ф-й ,заданих параметрично. Якщо ф-я задана параметрично {^x=v(t)

y=f(t),то

у^/=f^|(t)/x^/(t),у^/=f^/(t)/x^/(t)=F(t) (*).Другу похідну від у по іксу знайдемо диференціюючи рівність по іксу. Маємо : y^//_хх=F^/_х(t)=dF(t)/dx=dF(t)/dt*dt/dx.