36.Неперервність функції у точці (означення). Однобічна неперервність. Властивості функцій, неперервних у точці.

1) Ф-ція y=f(x) наз. непевною в точці х₀, якщо вона існує в околі цієї точки, а значить і в самій точці існує границя lim f(x)=f(x₀) і = заченню ф-ції в цій точці.

^{x 0}

Ф-ція y=f(x) наз. непевною, якщо в нескінченно малому приросту аргумента відповідає приросту ф-ції .

lim .

^{x 0}

Ф-ція y=f(x) наз. непевною, якщо для любого досить достатнього малого числа існує таке число додатнє ідосить мале,що для всі х , що задовольняють умові виконується нерівність :

|x-x₀|<

Властивості:

1)y=c: c=const-непервна в любій точці числової осі.

2)Алгебраїчна сумма скінченого числа неперервна ф-ція є ф-ція неперервна

lim f₁(x)+f₂(x)+ f₃(x)= f₁(x₀)+f₂(x₀)+ f₃(x₀)

^{x x}₀

3)Добуток скінченого числа в неперервній ф-ції є ф-ція неперервна

lim f₁(x)*f₂(x)= f₁(x₀)*f₂(x₀)

^{x x}₀

4)Частка в двох неперервних ф-цій є ф-ція неперервна

5) y=f(x), x_0, c=const,то y=c(x)-неперервна в точці x_0.

6)Якщо Ф-ція y=f(x) непевна функція u= , x₀, y=f(u) u₀ то y=f( ) в точці x₀.

Нехай функція f(x) визначена в точці x0 та у її лівосторонньому(правосторонньому) околі. Тоді якщо f(x0 – 0) = f(x0) (f(x0 + 0) = f(x0)),то функція f(x) неперервна в точці x0 зліва (справа).

37.Точки розриву. Класифікація точок розриву функції

Ф-ція y=f(x) наз.розривною в точці x₀, якщо в цій ф-ції порушена умова неперервності ф-цій.

Класифікація точок розриву:

1)точки розриву 1-го роду (точки скінченого розриву)

2)точки розриву 2-го роду (точки нескінченого розриву)

3)точки усувного розриву.

Щоб виявити точки розриву,необхідно:

1)Знайти односторонні границі

2)Зн.значення ф-ції в точці x₀.

30Порівняти результат в одержаних пунктах 1і 2

При цьому можливі наступні випадки:

a) f(x₀ -0)= f(x₀)=f(x₀+0) – точка х₀ не э точкою розриву

б) f(x₀ -0), f(x₀) f(x₀+0) і існують, але не рівне між собою можливо рівні справа або зліва.

f(x₀-0) = f(x₀) або (f(x₀) = f(x₀-0)) → в точці х₀ – точка розриву 1 роду.

W = |f(x₀ -0)- f(x₀)| - стрибок ф-ї.

в) якщо границя ф-ї існує, точка х₀ – точка розриву

= 1; y = в точці х = 0

г) в усіх інших випадках точка розриву 2 роду.

f(x₀ -0) = ±∞ або f(x₀+0) = ±∞

f(x₀ -0) = f(x₀+0) = ±∞ .

38.Неперервність функції на відрізку. Властивості функцій, неперервних на відрізку

Ф-ція y=f(x) наз. непевною на відрізку[a,b] якщо вона неперервна в кожній точці цього відрізку.

Властивості:

1)[a,b], y=f(x) m-найменше,n-найбільше значення.

2)приймає проміжні значення

3)На даному відрізку ф-ція y=f(x) є обмеженою.

4)Якщо на кінцях відрізка [a,b] ф-ція різних знаків,то на [a,b] існує така точка с, що належить [a,b],що f(с)=0, с-корінь ф-ції.

39.Похідна функції, її геометричний і механічний зміст. Однобічні похідні. Необхідна умова існування похідної

Похідною Ф-ції y=f(x) в точці х₀ наз.границя відношення приросту ф-ції до приросту аргументу коли останній прямує до нуля тобто

y’=

Приріст ф-ції:

; y’_x , f ‘_x

Якщо ф-ця має похідні в кожній точці [a,b], то вона деференційона на цьому інтервалі.

Умова існування:

Якщо ф-ція y=f(x) диференційована в точці х₀, то вона неперервна в цій точці.

Доведення:

f(x)-f(x₀)=

Перейдемо до границі, знайдемо границю при х 0

(f(x)-f(x₀))= =0

f(x)=f(x₀) отже ф-ція неперервна

Обернене твердження невірне, тобто із неперервності ф-ції випливає її диференційованість.

Геометричний зміст похідної:

Нехай задано неперервну ф-цію y=f(x) хє(а,б),L-графік ф-ції.

М(х₁,y₀) L фіксована точка виберемо точку М(x,y) L. Через точку М₀ і М проведемо січну до графіка ф-ції М₀М під кутом до осі ох.Через точку М₀ проведемо дотичну під кутом до осі ох. Через точку М₀ проведемо пряму MN//oy. Через точку М₀ проведемо пряму M₀N//ох. В M₀ МN, M₀ МN= . MN=y-y₀ , M₀N=х-х₀ ,тоді tg = . В основній рівності перейдемо дограниці при x х₀ одержемо tg = .

tg -?якщо x х_0, tg . Таким чином похідна ф-ції в точці x₀=кутовому коефіцієнту дотично проведеної до графіка ф-ції в точці з абсцисою х₀.

40.Рівняння дотичної і нормалі до кривої.

Нехай дано точку М(х_о;у_о). Скористаемось рівнянням жмутка прямих, що проходять через дану точку в заданому напрямку. у-у_о= к(х-х_о), к = у^/(х_о).Тоді у –у_о= у^/(х_о)(х-х_о)

у= у(х_о)+ у^/(х_о)(х- х_о)- рівняння дотичної.

Відомо що дотична і нормаль – перпенд між собою.А тому к нормалі буде дорівнювати: к_N= - 1/к = - 1/у^/(х_о), у-у_о= - 1/у^/(х_о) *(х-х_о)

у = у_о - 1/у^/(х_о) *(х- х_о)- рівняння нормалі.