4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий.

Т еорема 1. Если события А и B несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей.

Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

У словной вероятностью события А называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что некоторое событие B уже наступило.

В ероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Т еорема 3. Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

С обытия А и B называются независимыми, если выполняется условие

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

С умма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице.

5. Ф ормула полной вероятности. Формула Байеса.

- формула полной вероятности.

- формула Байеса в общем виде.

6. Повторные независимые испытания. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

Если вероятность события А в разных независимых испытаниях постоянна, то такие испытания называют биномиальными или испытаниями Бернулли.

П усть производится n независимых испытаний, в которых событие А может наступить либо не наступить. Пусть вероятность наступления события А постоянна и равна р, тогда вероятность ненаступления события А также постоянна и равна

Если событие А не наступило, то это означает, что наступило противоположное к нему событие

Т ребуется найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит к раз и не наступит (n-k) раз. Обозначим искомую вероятность

или

• Формула Пуасона.

7. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Л окальная теорема.Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз приближенно равна

И нтегральная теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что число наступлений события А в n испытаниях заключено между и приближенно равна

8. В ероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Наивероятнейшее число наступлений события.

Т ребуется оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р не превышает заданного числа

В интегральной теореме Лапласа положим

Ч исло наступлений события А в n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р, называется наиболее вероятным (наивероятнейшим), если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях раз, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности остальных возможных исходов.

Если число (np-q) –дробное, то существует одно наивероятнейшее число .

Е сли число (np-q) – целое, то существует два наивероятнейших числа и .