Числовые характеристики дискретных случайных величин.

 

Пусть случайная величина Х задана таблицей распределения

 

X				…		…
p				…		…

 

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений   на соответствующие вероятности  :

Математическое ожидание называют также средним значением случайной величины Х, подчеркивая статистический смысл понятия, или центром распределения случайной величины Х (по аналогии с понятием центра тяжести для системы материальных точек).

Свойства математического ожидания:

1)     если случайная величина Х принимает постоянное значение Х=С= =const, то М(С)=С;

2)     М(СХ)=СМ(Х), С = const;

3)     Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y);

4)     Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y).

Наряду с характеристиками положения большую роль играют характеристики рассеяния. Рассеяние случайной величины Х связано с отклонением этой величины от ее центра распределения М(Х). Чтобы учитывать отклонения противоположных знаков, удобно рассматривать квадраты отклонений.

21

Дисперсией D(X) случайной величины Х называют средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения:

Используя свойства математического ожидания, можно записать более удобную формулу для подсчета дисперсии

.

Для того, чтобы рассматривать отклонение в тех же единицах, что и значения случайной величины, вводится еще одна характеристика – среднее квадратическое отклонение (Х), которое определяется как

.

Свойства дисперсии:

1)       D(X)  0;

2)       если С=const, то D(С) = 0;

3)        , С=const;

4)       D(X  Y) = D(X) + D(Y).

22

Средним квадратическим отклонением  случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

            Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

            Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.      

            Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96.

            Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

23

Начальные и центральные теоретические моменты

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X^k:

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (X—M(X))^k:

Моменты, рассмотренные здесь, называют

теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.

24