Контрольная работа

Задача 1 (симплекс-метод)

На предприятии выпускают n видов продукции . При ее изготовлении используются ресурсы P1, P2 и P3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2 и b3. Расход ресурса i-го (i = 1, 2, 3) вида на единицу продукции j-го вида составляет aij ден. ед. Це­на единицы продукции j-го вида равна cj ден. ед.

Требуется:

- составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую найти сбалансированный план выпуска про­дукции, обеспечивающий предприятию максимальный до­ход;

- найти оптимальный план выпуска продукции по видам (дать содержательный ответ, раскрыв экономический смысл всех переменных, приведенных в решении задачи);

Все необходимые числовые данные приведены в табл. 1

Таблица 1

Параметр
	1
n	4
b1	20
b2	37
b3	30
a11	2
a12	2
a13	4
a14	0
a21	3
a22	1
a23	1
a24	2
a31	0
a32	1
a33	1
a34	4
c1	11
c2	6
c3	9
c4	6

Решение.

Исходя из условия задачи имеем:

n = 4; B = ; A = ; C= (11 6 9 6).

Обозначим через x1, x2, x3, x4 количество единиц продукции соответственно P1, P2, P3, P4 планируемой к выпуску, а через f - величину дохода от реализации этой продукции. Тогда, учитывая цену единицы продукции P1, равную 11 ден. ед., единицы P2 - 6 ден. ед., единицы P3- 9 ден. ед., единицы единицы P4- 6 ден. ед., запишем суммарную величину дохода - целевую функцию - в следующем виде:

f = 11x₁ + 6x₂ + 9x₃+6x₄ (1)

Переменные х₁, х₂, х_3, х₄ должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении предприятия ресурсов. Так, затраты ресурса Р₁ на выполнение плана (х₁, х₂, х_3, х₄) составят

2x₁ + 2x₂ + 4x₃ +0x₄ единиц,

где 2х₁ - затраты ресурса Р₁ на выпуск x₁ единицы продукции П₁; 2х₂ - на выпуск единицы продукции Р₂; 4х₃ - на выпуск единицы продукции Р₃; 0х₄ - на выпуск единицы продукции Р₄. Указанная сумма не может превышать имеющийся запас Р₁ в 20 единиц, т.е.

2x₁ + 2x₂ + 4x₃ +0x₄  20 (2)

Аналогично получаем ограничения по расходу ресурсов Р₂, Р₃:

3x₁ + 1x₂ + 1x₃ +2x₄  37 (3)

0x₁ + 1x₂ + 1x₃ +4x₄  30 (4)

По смыслу задачи переменные х₁, х₂, х₃, х₄ не могут выражаться отрицательными числами, т.е.

x_j 0 (j= ) (5)

Соотношения (1) - (5) образуют экономико-математическую модель данной задачи. Итак, математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃*, х₄* переменных х₁, х₂, х₃, х₄ удовлетворяющих линейным неравенствам (2) - (5) и доставляющих максимум линейной функции (1).

Приведем модель задачи к канонической форме, преобразовать неравенства в эквивалентные уравнения. Для этого введем в левые части неравенств дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные x₅, x₆, х₇. В результате получим:

f = 11x₁ + 6x₂ + 9x₃ +6x₄→ max (6)

2x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 0x₄ +x₅= 20

3x₁ + 1x₂ + 1x₃ +2x₄ + x₆=37 (7)

0x₁ + 1x₂ + 1x₃ +4x₄ +x₇ =30

x_j  0 (j = ) (8)

Экономический смысл переменных х₅, х₆ , х₇ - возможные остатки ресурсов Р₁, Р₂, Р₃ , Р₄ соответственно (резервы).