23. Критерий устойчивости Гурвица.

Гурвиц( швейцарский математик) – автор алгебраического критерия

Из коэффициентов характеристического уравнения составляют определитель n-го порядка, где n-степень уравнения:

Система устойчива, если положительны все диагональные миноры определителя Гурвица.

Δ₁ = а₁

Δ_n= Δ=Δ_n-1*a_n

Если часть миноров равна 0, а остальные положительны, то система находится на границе устойчивости.

С помощью критерия Гурвица можно определить будет ли система находится на границе устойчивости, при этом Δ_n-1=0 или a_n=0. в 1-ом уравнении – колебательная граница устойчивости, во втором периодическая граница устойчивости.

Достоинства критерия: простота и легкая алгоритмизация.

Недостаток – невысокая наглядность(малая информативность)

24. Критерий устойчивости михайлова.

Характеристическое уравнение системы представляется в частотном виде, т.е заменяют перемещением p на jω

D(jω)=a₀(jω)pⁿ+ a₁(jω)^n-1+…+a_n

В полученном выражении можно выделить действительную и мнимую части

D(jω) =X(ω)+jY(ω)

X(ω)=a_n-a_n-2ω²+… действительная

Y(ω)=a_n-1ω-a_n-3ω³+… мнимая часть

Дальше задавая частоту от 0 до бесконечности, на комплексной плоскости с координатами x и y строят график, который называют кривой Михайлова.

Система устойчива, если кривая Михайлова, начинается на положительной действительной оси, огибает начало координат против часовой стрелки и проходит n квадратов, n – порядок уравнения.

Пример:

!!!Недостаток – невысокая информативность

25. Критерий устойчивости Найквиста.

Систему приводят к виду с единичной обратной связью. Затем обратную связь условно разрывают. В итоге получ-тся разомкнутая система.

Замкнутая система будет устойчива, если она устойчива в разомкнутом состоянии и АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (–1; j0). Данное правило действует и для систем, разомкнутый контур кот. имеет в составе итегрирующие звенья.

Абсолютно-устойчивая Условно-устойчивая

На границе устойчивости Неустойчивая

Критерий Найквиста может быть использован при количественном анализе устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Для этого ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы строят в одних координатах(диаграмма Бадэ):

Абсолютно-устойчивая Условно-устойчивая

На границе устойчивости Неустойчивая

Замкнутая система будет устойчивой, если для разомкнутой системы соблюдается условие ω_ср< ω_-180

Если они равны – на границе устойчивости

По критерию Найквиста можно получить количественную оценку устойчивости, которую называют запасом устойчивости по амплитуде и запасом устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде показывает на сколько можно изменить коэф-т передачи разомкнутой системы до выхода системы на границе устойчивости (α). Запас устойчивости по фазе показывает на сколько можно увеличить отрицательный фазовый сдвиг в системе (разомкнутой) до выхода замкнутой системы на границу устойчивости (Δφ), градусы или радианы.

.

∆ -запас устойчивости по фазе в рад, град. ∆L- запас устойчивости по амплитуде в дБ