15. Частотные характеристики звеньев.

Они представляют собой зависимость параметров системы или звена от частоты входного гармонического сигнала.

1) АФЧХ (годограф). Представляет собой геометрическое место концов векторов, соответствующих значениям ЧПФ при изменении частоты от 0 до ∞.

Этот же график можно построить в полярных координатах: длина вектора будет соответствовать модулю передаточной функции, а угол между вектором и действительной осью – аргументу.

График используется, в основном, при анализе устойчивости системы.

2) АЧХ. Зависимость модуля ЧПФ от частоты входного гармонического сигнала.

3) ФЧХ. Зависимость фазового сдвига сигнала или аргумента ЧПФ от частоты.

4) Вещественная ЧХ. Зависимость вещественной части ЧПФ от частоты входного сигнала.

Используется при анализе динамических свойств системы.

5) Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика и логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛАЧХ, ЛФЧХ). При построении ЛАЧХ по горизонтальной оси откладывают частоту в логарифмическом масштабе (используются десятичные логарифмы), по вертикальной оси откладывают модуль ЧПФ, выраженный в дБ

За начало отсчета частоты условно приняли 1 Гц. Интервал, на котором частота возрастает в 10 раз, называется декада.

На практике вместо кривой ЛАЧХ строят асимптотическую характеристику, которая состоит из прямолинейный отрезков, расположенных под наклонами, кратными величине 20дБ/дек.

ЛФЧХ отличается от ФЧХ логарифмическим масштабом оси абсцисс (частот) масштаб оси ординат обычный.

16. Временные характеристики звеньев.

Они характеризуют изменение выходного сигнала во времени при подаче на вход одного из типовых испытательных сигналов.

Виды типовых сигналов:

1) Единичный ступенчатый сигнал.

x(t)=1(t).

На практике такой сигнал соответствует резким изменениям входной величины, моментам включения и выключения и т.д.

2) Единичный импульсный сигнал.

x (t)=δ(t); t=0 x(t)→∞; t≠0 x(t)=0; δ(t)=1'(t).

δ-функция является производной единичного ступенчатого сигнала. Ее интеграл равен 1. На практике δфункция представляет собой удары, толчки, токи короткого замыкания, то есть кратковременное сильное воздействие.

Р еакция системы на единичный сигнал называется переходной функцией (характеристикой).

y(t)=h(t).

Реакция системы на δ-функцию называется функцией веса или весовой харак-ой.

y (t)=ω(t);

ω(t)=h'(t)

Передаточная функция системы связана с функцией веса преобразованием Лапласа. Функция веса является оригиналом, передаточная функция – изображением.

17. типовые динамические звенья. Позиционные звенья и их характеристики.

Для анализа систему разбивают на типовые динамические звенья, то есть на устройства, которые описываются дифференциальными уравнениями определенного вида (не выше 2-го порядка). По виду уравнения все типовые звенья делят на несколько групп:

I) позиционные звенья.

С (р)·y=k·x, С(р) – собственный оператор звена, который представляет собой многочлен не выше второго порядка.

1 ) безынерционное звено (усилительное или идеальное).

С(р) имеет нулевой порядок; y=k·x

Примеры: рычаг, редуктор, делитель напряжения.

2) апериодическое звено 1-го порядка.

(Тр+1)·y=k·x; W(p)=k/(Tp+1)

Примеры: нагревательные элементы, большинство измерительных преобразователей, RC-цепь.

ЛАЧХ:

3) апериодическое звено 2-го порядка.

(Т₁р+1)·(Т₂р+1)y=k·x; (Т₁Т₂р²+(Т₁+Т₂)р+1)y=kx; W(p)=k/((Т₁р+1)·(Т₂р+1))

Примеры: 2 последовательно соединенных звена 1-го порядка, электромагнитный усилитель, двигатель постоянного тока (входная величина – напряжение, выходная – скорость вращения).

В маломощных двигателях с небольшой индуктивностью якоря электрической постоянной времени можно пренебречь и рассматривать двигатель как апериодическое звено 1-го порядка.

4) колебательное звено.

(Т²р²+2ξТр+1)y=kx; 0<ξ<1. ξ– параметр затухания.

Переходный процесс имеет колебательный характер и параметр ξ характеризует скорость затухания колебаний.

W(p)=k/(Т²р²+2ξТр+1)

1/T – собственная частота колебаний. На собственной частоте наблюдается явление резонанса. Чем меньше ξ, тем выше усиление на резонансной частоте.

Примеры: колебательный контур, упругая система с подвижной массой.

5)Консервативное звено (частный случай колебательного звена, в котором ξ=0)

(Т²р²+1)y=kx; W(p)=k/(Т²р²+1)

Пример: генератор.

18. типовые динамические звенья. Интегрирующие звенья и их характеристики.

Для анализа систему разбивают на типовые динамические звенья, то есть на устройства, которые описываются дифференциальными уравнениями определенного вида (не выше 2-го порядка). По виду уравнения все типовые звенья делят на несколько групп:

II) интегрирующие звенья. С(р)y=k/p·x

1) идеальное интегрирующее звено.

y=k/p·x; W(p)=k/p.

Пример: конденсатор, через который течет ток, интегрирующий усилитель, наполняющаяся ванная.

2) интегрирующее звено с замедлением.

(Тр+1)·y=k/p·x; W(p)=k/(p(Tp+1))

(Т₁р+1)·(Т₂р+1)y=k/p·x

Пример: двигатель постоянного тока, если выходной величиной считать угол поворота.

3) изодромные звенья.

y=(k/p+k₁)x=k/p·x+k₁x; W(p)=k/p+k₁=k/p·(Тр+1)

Изодромное звено можно получить параллельным соединением интегрирующего и пропорционального звеньев, а также последовательным соединением интегрирующего и форсирующего.

Примеры: гидравлический амортизатор (демпфер), изодромный привод.

19. типовые динамические звенья. дифференцирующие звенья и их характеристики.

Для анализа систему разбивают на типовые динамические звенья, то есть на устройства, которые описываются дифференциальными уравнениями определенного вида (не выше 2-го порядка). По виду уравнения все типовые звенья делят на несколько групп:

III) дифференцирующие звенья.

С(р)y=kxp

1) идеальное дифференцирующее звено.

y=kxp; W(p)=kp. h(t)=δ(t)=1'(t)

Примеры: дифференциальный усилитель, тахогенератор.

2) дифференцирующее звено с замедлением (реальное дифференцирующее звено).

(Тр+1)·y=kpx; W(p)=kp/(Тр+1).

Примеры: дифференцирующая RC-цепь, тахогенератор, если требуется считывать его постоянные времени.

3) форсирующие звенья. Представляют собой комбинации дифференцирующих и позиционных звеньев

y=kС(р)

20. Звенья с запаздыванием и их характеристики.

Звенья с запаздыванием представляют собой комбинацию любого из рассмотренных звеньев и звена чистого запаздывания, которое описывается уравнением:

y(t)=x(t–τ), где τ – время запаздывания.

Запаздывание:

1)Транспортное

2) Распределенное

Транспортное – возникает из-за затрат времени на прохождение сигнала через звено

Распределенное – возникает из-за медленного нарастания сигнала на выходе звена, при этом в течении некоторого времени выходной сигнал так мал, что не может быть обработан след. звеньями.

Пример транспортного: трубопроводы, линии связи, транспортеры и тд.

Пример распределенного: звенья 2-го и более высокого порядка, получение передаточных функций и характеристик двигателем постоянного тока с некоторой задержкой   во времени.

Наиболее распространенным в практике автоматических систем является транспортное запаздывание, обусловленное пространственным перемещением элементов, передающих информацию (например, транспортерная лента, полоса прокатываемого металла). К статическим устройствам запаздывания можно отнести различного рода линии задержки электронного или параметрического типа.

В некоторых случаях звено запаздывания вводится при расчете системы условно. Для ряда объектов уравнение динамики неизвестно, поэтому кривую переходного процесса реального объекта при единичном входном воздействии аппроксимируют экспонентой и эквивалентным запаздыванием.

Уравнение звена запаздывания не является дифференциальным и относится к классу особых уравнений со смещенным аргументом.

Подстановкой в уравнение звена значения входной величины   получим его переходную функцию:

а подстановкой   – импульсную:

Временные характеристики звена запаздывания показаны на рис, а, б.

На основании теоремы запаздывания запишем уравнение (3.64) в изображениях по Лапласу:

и определим передаточную функцию звена как

А.ф.х. звена является окружностью единичного радиуса с центром в начале координат (рис, е).

Амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики определяются выражениями:

Звенья запаздывания ухудшают устойчивость систем и делают их трудно управляемыми.

Звено запаздывания определяет трансцендентный характер характеристического уравнения системы. Для приведения характеристического уравнения к алгебраической форме трансцендентную передаточную функцию звена раскладывают в ряд Пада и приближенно заменяют ее двумя или тремя членами ряда:

или

21. Структурные схемы САР и их преобразование.

Структурная схема явл. графическим представлением матем-ой модели, которая иллюстрирует взаимодействия динамических звеньев в процессе работы системы.

Основные элементы структурных схем:

1)динамическое звено 2)узел 3)сравн-щее устр-во

4)Сумматор

Имея структурную схему можно получить общую передаточную функцию всей системы. Для этого нужно учитывать вид соединения динамических звеньев.

1. последовательное соединение:

2. параллельное соединение:

3) встречнопараллельное соединение:

Представляет собой положительную или отрицательную обратную связь

W(p)=W₁(p)/(1+W₁(p)·W₂(p)) W(p)=W₁(p)/(1–W₁(p)·W₂(p))

В сложных схемах для получения типовых видов соединений, схему преобразуют с помощью правил преобразования:

1) однотипные элементы можно менять местами, если они расположены последовательно(узлы, сумматоры, сравнивающие устр-ва):

2)перенос узла с входа на выход динамического звена:

3) перенос узла с выхода на вход динамического узла:

4) перенос узла со выхода на вход сумматора:

5. перенос сумматора с выхода на вход динамического звена:

6) перенос сумматора со входа на выход:

7) переход к виду системы с единичной обратной связью:

Пример составления структурной схемы:

1. стабилизирующая САР уровня жидкости:

Рассмотрим передаточную функцию по возмущающему воздействию Q2,для этого структурную схему изобразим со стороны возмущающего воздействия:

W_з(p)=[k3/(Т₃р+1)]\[1+(k1*k2*k3\(Т₃р+1))]=k3\T3p+1+K

K=k₁k₂k₃

W_з(p)=[k3\1+K]\[(T3\1+K)p+1]=K\Tp+1; K=k3\(1+k); T=T3\(1+K)

22. Основные понятия об устойчивости САР.

Устойчивость – это способность системы возвращаться в исходное статическое состояние при снятии воздействия,кот. послужило причиной выхода из равновесия. Если происходит переход из одного статического состояния к другому,то в устойчивой системе переход будет затухающим(сходящимся), а в неустойчивой-расходящимся. Наиболее наглядно устойчивость можно оценить по переходному процессу.

Несмотря на наглядность переходного процесса, он даёт мало информации об устойчивости системы, поэтому имеется ряд методов, которые позволяют оценить устойчивость системы без построения перех-го процесса. Эти методы были разработаны на основе теории устойчивости Ляпуновым. В соотв-ии с этой теорией сходимость или расходимость переходного процесса зависит от вида левой части дифф. уравнения системы(знаменателя передаточной функции).

На основе левой части ур-ния составляют характеристическое ур-ние системы, приравняв собственный оператор к 0 и считая оператор р переменным.

a ₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p^n-1+a_n=0

Характеристическое ур-ние часто называют порядком системы. Корни этого уравнения в общем случае являются комплексными числами: р=α+jβ

Система будет устойчивой, если все корни имеют отрицательные вещественные части. комплексная область устойчивости-------------------->

На практике вместо решения характер-ого уравнения пользуются специальными критериями устойчивости, которые в свою очередь используют следствия из правила Ляпунова:

1)основное-чтобы сист. была устойчивой, недостаточно, чтобы все коэф хар-го уравнения были положительными(или отриц-ми).

например: 1) W(p)=K\(Tp+1); 2 коэф:T и 1(2 положит-е)=> устойчивая.

2) W(p)=K\р(Tp+1)= K\Tp²+р); 3 коэф:T,1 и 0 => неустойчивая

2)Если соблюдается 1 следствие из правил Ляпунова явл. необходимым условием при использовании критериев устойчивости.