12. Стандартные формы записи дифференциальных уравнений.

Существуют две стандартные формы записи дифференциальных уравнений:

1. операторная форма. Для ее получения выходную величину и ее производные записывают в левой части уравнения, а входные величины с их производными – в правой части. Затем выполняется замена коэффициентов с помощью следующих обозначений:

Δy+T₁·Δy=k₁·Δx+k₂·Δx+ k₃·Δf+k_f·Δf

Т₁– постоянная времени (характеризует инерционность системы или ее элементов).

К – это коэффициенты передачи, которые показывают как система преобразует входные величины. Их размерность зависит от размерности входных и выходных величин.

Для записи уравнения в операторной форме используется оператор дифференцирования: p=d/dt

Δy·(1+T₁·p)=Δx·(k₁+k₂·p)+Δf·(k₃+k_f·p).

2. запись уравнения в передаточных функциях.

Разделим левую и правую части на многочлен при входной величине:

Δy=Δx·(k₁+k₂·p)/(1+T₁·p)+Δf·(k₃+k_f·p)/(1+T₁·p).

Δy=Δx·W(p)+Δf·W_f(p)

Где W(p) – передаточная функция по входному воздействию:

W_f(p) – передаточная функция по возмущающему воздействию.

Передаточная функция представляет собой отношение операторов воздействий к собственному оператору. Если использовать передаточные функции в качестве мат. моделей системы, то с точки зрения мат. они будут некорректны. Чтобы передаточные функции были корректными, для их получения вместо вх. и вых. величин используют их изображения по Лапласу.

13. Передаточная функция в операторной форме и в форме изображений Лапласа.

Рассмотрим уравнение произвольного порядка в операторном виде будет выглядеть следующим образом:

Δy(а₀+а₁р+а₂р²+…+а_npⁿ)=Δx(b₀+…+b_npⁿ)+Δf(c₀+…+c_npⁿ).

Дифференциальный оператор при входной величине называется собственным оператором системы, операторы при Δx Δf соответственно оператором входного воздействия и оператором возмущающего воздействия.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией.

В этом случае передаточную функцию по входному воздействию можно записать в следующем виде:

W(p)= (b₀+…+b_npⁿ)/(а₀+а₁р+а₂р²+…+а_npⁿ);

По возмущающему воздействию: W_f(p)=(c₀+…+c_npⁿ)/(а₀+а₁р+а₂р²+…+а_npⁿ);

Знаменатель обеих дробей называется собственным оператором системы. Числитель – операторами воздействий.

Такая запись является математически некорректной, так как р является оператором дифференцирования и не имеет смысла без дифференцируемой величины. Поэтому на практике используют передаточную функцию в изображениях Лапласа, то есть как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины.

W(S)=Y(S)/X(S); W_f(S)=Y(S)/F(S) , S – комплексная величина (параметр Лапласа).

Для большинства реальных систем при нулевых начальных условиях оператор Лапласа S тождественен оператору дифференцирования: W(S)=W(p).

14. Частотная передаточная функция.

Предположим, что на вход системы или ее элементов действует гармонический сигнал x(t)=A_вх·sinωt.

В этом случае выходной сигнал будет выглядеть следующим образом: y(t)=A_вых·sin(ωt+φ).

Если перейти от тригонометрических функций к функциям Эйлера, то можно записать:

x(t)=A_вх·sinωt=A_вх·е^jωt;

y(t)=A_вых·sin(ωt+φ)=A_вых·е^j(ωt+φ);

Частотная передаточная функция представляет собой отношение выходного сигнала к входному при гармоническом воздействии:

W(jω)=y(t)/x(t)=(A_вых/A_вх)·е^jφ=A(ω)·е^jφ(ω)

Для большинства систем при нулевых начальных условиях оператор Фурье jω тождественен оператору дифференцирования (jω≡р). Поэтому частотную передаточную функцию можно получить заменой р на jω.

Пример:

Δy·(T·p+1)=k·Δx;

W(p)=k/( T·p+1); W(jω)=k/(T·jω +1).

Так как частотная передаточная функция является комплексным числом, то в ней можно выделить действительную и мнимую части:

W(jω)=U(ω)+jV(ω).

Кроме того, для нее можно вычислить модуль и аргумент:

А(ω)=(U²(ω)+V²(ω))^1/2 – модуль;

Аргумент представляет собой фазовый сдвиг сигнала:

φ(ω)=-arctg(V(ω)/U(ω)).