2.Матриці і дії над ними

Операція знаходження добутку матриць і називається операцією множення матриць і .

Властивості операції множення матриць:

1. (асоціативна властивість).

2. (дистрибутивна властивість першого множника).

3. (дистрибутивна властивість другого множника).

Якщо , то матриці називаються комутативними.

Транспонування. Нехай дана матриця (1). Матриця , здобута із заміною рядків на стовпці зі збереженням порядку їх слідування, називається транспонованою матрицею до . Операція заміни матриці на називається транспонуванням матриці . Властивості транспонування матриці:

1. 

2. 

3. 

4. 

Якщо квадратна матриця збігається зі своєю транспонованою матрицею , то така матриця називається симетричною. Якщо квадратна матриця відрізняється знаком від своєї транспонованої матриці , тобто , то така матриця називається кососиметричною.

Цілим додатним степенем квадратної матриці є добуток матриць, рівних .

Нехай — квадратна матриця n-го порядку.

Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці , AC=CA=E, де E— одинична матриця n-го порядку.

Матриця, обернена до матриці , позначається через , де – алгебраїчне доповнення елемента матриці .

Квадратна матриця порядку n називається особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо , то називається неособливою.

ТЕОРЕМА 1.1. Особливі матриці обернених матриць не мають. Кожна неособлива матриця має єдину обернену матрицю.

Матричний метод. Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

. Якщо , , , то в матричній формі система має вигляд . Якщо , то розв’язок системи має вигляд .

9.Евклідів простір. Нерівність Коші-Буняковського.

Лінійний простір називається евклідовим простором, якщо виконуються наступні умови:

1. Будь-яким двом елементам даного простору і ставиться у відповідність дійсне число, яке називається скалярним добутком цих елементів і позначають символом .

2. Для скалярного добутку справедливі такі аксіоми:

2.1 - аксіома симетрії

2.2 - аксіома роз подільності

2.3 , для будь-якого дійсного числа

2.4 при , при .

Теорема1:Для будь-яких двох елементів і довільного евклідового простору справедлива нерівність , яка називається нерівністю Коші-Буняковського.

Доведення: для будь-якого дійсного числа , в силу аксіоми 2.4 скалярного добутку, справедлива рівність . В силу аксіом 2.1-2.3, останню рівність можна записати в вигляді . Для того щоб виконувалась дана рівність необхідно і достатньо щоб дискримінант даного тричлена був недодатнім, тобто щоб виконувалась рівність , звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.

Теорема2: Для будь-яких двох елементів і довільного комплексного евклідового простору справедлива нерівністю Коші-Буняковського

Доведення: для будь-якого комплексного числа , в силу аксіоми 2.4 скалярного добутку, справедлива рівність . В силу аксіом 2.1-2.3, останню рівність можна записати в вигляді . Позначимо через аргумент комплексного числа і представимо в вигляді . Тоді , де -будь-яке дійсне число. , . Отримаємо наступну рівність . Яка справедлива для будь-якого дійсного . Для того щоб виконувалась дана рівність необхідно і достатньо щоб дискримінант даного тричлена був недодатнім, тобто щоб виконувалась рівність , звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.