Операції над множинами та їх властивості.

Основні операції над множинами

• Об’єднання множин

• Перетин множин

• Різниця множин

• Доповнення множини

• Симетрична різниця множин

Властивості

• Ідемпотентність

• Комутативність

 

• Асоціативність

 

• Дистрибутивність

 

• Узагальнені закони дистрибутивності

 

• Доповнюваність

 

• Правило де Моргана

 

Відношення еквівалентності

Бiнарне вiдношення R на множинi D називається вiдношенням еквiвалентностi, якщо воно

1) рефлексивне

2) симетричне

3) транзитивне.

Для вiдношень еквiвалентностi замiсть запису   вживають запис d₁˜d₂.

Нехай на множинi D задано вiдношення еквiвалентностi ∼ . Для кожного   введемо в розгляд множини

Для будь-яких елементiв   має мiсце одне з двох:

або D_a = D_b

або 

Доведення. Припустимо, що   i  , тодi за означенням множин D_a,D_b, маємо: a˜d ^* ,b˜d ^* . Враховуючи симетричнiсть вiдношення, a˜d ^* ,d ^* ˜b, а за транзитивнiстю a ∼ b i, звичайно, b ∼ a. Тодi для будь-якого елемента  , за транзитивнiстю маємо  , тобто  . Аналогiчно доводиться протилежне включення i отримується рiвнiсть D_a = D_b.

Множини D_a називаються класами еквiвалентностi, а множина, елементами якої є класи еквiвалентностi, називається фактор-множиною множини D по вiдношенню еквiвалентностi ∼ i позначається D/∼ .

Сукупнiсть елементiв множини A, взятих по одному з кожного класу еквiвалентностi, називається сукупнiстю представникiв класiв еквiвалентностi.

[ред.]Відношення порядку

Відношення порядку в математиці — бінарне відношення, яке є транзитивним та антисиметричним.

 (транзитивність),

 (антисиметричність).

[ред.]Нестроге відношення порядку

Відношення порядку називається нестрогим, якщо воно рефлексивне

.

[ред.]Строге відношення порядку

І навпаки, відношення строгого порядку є антирефлексивним

.

[ред.]Відношення лінійного порядку

Відношення порядку називається повним (лінійним), якщо

 (повне відношення).

Повнота (лінійність) відношення порядку означає його рефлективність, тому такий порядок завжди нестрогий.

[ред.]Відношення часткового порядку

Якщо умова повноти не виконується і порядок є нестрогим, то відношення називають відношенням часткового порядку.

Зазвичай відношення строгого порядку (повного чи часткового) позначається знаком <, а відношення нестрогого порядку знаком  .

[ред.]Відношення строгого часткового порядку

Бiнарне вiдношення на множинi D називається вiдношенням строгого часткового порядку, якщо воно

1) антирефлексивне

2) транзитивне

[ред.]Відношення нестрогого часткового порядку

Бiнарне вiдношення на множинi D називається вiдношенням нестрогого часткового порядку, якщо воно

1) рефлексивне

2) антисиметричне

3) транзитивне.

Надалi будемо вживати такi позначення:

a ≺ b − елементи a, b знаходяться у вiдношеннi строгого часткового порядку ≺;

a ≼ b − елементи a, b знаходяться у вiдношеннi нестрогого часткового порядку ≼.

Множина D, на якiй задано вiдношення строгого або нестрогого часткового порядку, називається частково-впорядкованою множиною (ч.в.м.), позначається (D, ≺).

Нехай (D, ≺) − частково-впорядкована множина. Елемент   називається максимальним (мiнiмальним), якщо   a ≺ d, (d ≺ a)

Нехай   - довiльна пiдмножина. Елемент   називається найбiльшим (найменшим) елементом множини A, якщо   a ≼ a ^* (a ^* ≼ a).

Елемент   називається верхньою (нижньою) гранню або межею множини A, якщо   a ≼ d (d ≼ a).

Звичайно, що найбiльший або найменший елементи, якщо вони iснують, є верхньою та нижньою гранями множини A. Але довiльна грань множини може не бути її елементом.

Розглянемо множину U = U(A) (L = L(A)) верхнiх (нижнiх) граней множини A. Найменший (найбiльший) елемент множини верхнiх (нижнiх) граней U(L) називається супремумом (iнфiмумом) множини A i позначається sup A (inf A).

Звичайно, що всi перелiченi типи елементiв: максимальнi та мiнiмальнi, найбiльшi та найменшi, верхнi та нижнi гранi, супремуми та iнфiмуми можуть i не iснувати.

[ред.]Решітка

Частково-впорядкована множина (D, ≺) називається решiткою, якщо для довiльної двохелементної пiдмножини   iснують sup A та inf A.