§ 28. Искажение изображения площади

Линейные искажения точек снимка, вызванные влиянием угла на­кло­на и рельефа ме­стно­сти, приводят к искажениям линий, следова­тельно, и пло­щадей участков, ограниченных этими ли­ниями. Причем раздельные и независимые влияния угла наклона снимка и превыше­ний ме­жду точками местности на искажения площадей суммируются. Рассмотрим эти источ­ники.

В лияние угла наклона на искажения площадей участков ус­та­но­вим, исходя из сле­дующих соображений. Пусть имеем на пло­ской ме­стно­сти квадрат со стороной L, рас­по­ло­женный симмет­рично отно­си­тельно главной вертикали (рис. 3.15). На наклонном снимке этот квадрат изобра­зится в виде трапеции со средней ли­нией ab=l₁ и высо­той cd=l₂. Пло­щади участка на наклон­ном (P) и на горизонтальном (P⁰) снимках равны:

P=l₁l₂=(L/m_h)(L/m_v) и P=l²=L²f²/H².

Искажение площади есть раз­ность площадей P и P⁰, которая с уче­том мас­штаба по вертикали (3.29) и горизонтали (3.30) равна:

.

Более показательно относительное искажение площади:

. (3.42)

Если центр участка k совпадает с главной точкой снимка (x=0), то

. (3.43)

Расчеты по формуле (3.43) показывают, что площадь участка, изо­браженного на снимке симметрично относи­тельно главной его точки, оп­ределяется с достаточно высокой точно­стью: при углах на­клона _c, рав­ных 30 и 60 минут, относительное искажение состав­ляет 1/ 8700 и 1/2900 соответственно.

Влияние рельефа местности на искажения площадей участ­ков, изображенных на плано­вом снимке, определим исходя из ошибок опре­деления масштаба снимка, или, точ­нее, высоты фотографирова­ния над средней плоскостью, расчет которой обычно выполня­ется по опо­знан­ным на карте (на местности) точкам и последующего измерения расстояния между ними.

Площадь земельного участка на местности (P⁰) вычисляют по ре­зуль­татам ее из­ме­рения на снимке (P):

.

Неточное определение высоты фотографиро­вания H (или неучет пре­вышений h ме­жду точ­ками ее определения) приведет к ошибке оп­ре­деле­ния масштаба и площади участка. Для установления ошибки функ­ции P⁰ в зависимости от ошибки аргумента H в соответ­ствии с прави­лами теории ошибок измерений выполним дифференцирование:

.

Примем dP⁰=P и dH=h. Тогда относительная ошибка площади

. (3.44)

Из полученной формулы следует, что влияние рельефа достаточно ощутимо: при вы­соте фо­тографирования H=2000 м и превы­шении h=50 м относительная ошибка опреде­ления площади составит 5 % или 1/20 от ее величины.

§ 29. Физические источники искажения изображения

Реальное изображение, полученное в процессе аэрофотосъемки, со­держит не только рас­смотренные выше искажения геометрического ха­рактера, обусловленные особенностями цен­трального проектирова­ния. Особую группу составляют так называемые физические фак­торы, обу­словленные влиянием атмосферной рефракции, кривизны Земли, дефор­мации фо­томате­риала, его недостаточным выравниванием в плос­кость, вер­тикальных и горизонтальных пере­мещений и вибраций съемочной ­камеры в мо­менты экспозиции и пр.

В лияние атмосферной рефрак­ции связано с изменением тем­пе­ратуры при уменьше­нии атмосферного давления, что приводит к измене­нию плотности воздуха, и, сле­дова­тельно, по­казателя прелом­ления. В связи с этим световой луч, иду­щий от точки A к цен­тру проек­ции S, бу­дет пре­терпевать в ка­ждом слое прелом­ление. Поскольку с уве­личе­нием вы­соты съемки плот­ность слоев уменьшается, то луч бу­дет постепенно уда­ляться от от­вес­ной пря­мой, и его тра­екто­рия окажется искрив­ленной, причем во­гну­тость траек­тории всегда об­ращена к по­верх­ности Земли. В конеч­ном итоге это приведет к тому, что изображе­ние точки местности A сме­стится из точки a в точку a (рис. 3.16).

Угол между хордой SA и касатель­ной к кривой SA в точке A на­зывают ас­троно­мической реф­ракцией (), а между той же хордой и касатель­ной в точке S – фото­грамметриче­ской реф­ракцией ().

Механизм влияния фотограмметри­ческой рефракции аналоги­чен ме­ха­низму влияния рель­ефа местности, и смещение aa есть функция длин отрезков AB, SN и na. Поэтому для опре­деления величины смеще­ния aa=_r можно воспользоваться форму­лой (3.40), заменив в ней h на AB:

.

По малости угла наклона снимка можно пола­гать (рис. 3.16), что

.

После разложения ctg(+) в ряд с удержанием членов первого порядка малости и неслож­ных преобразо­ваний най­дем:

. (3.45)

Величина фотограмметрической рефракции  невелика: при H=3 км она состав­ляет по­рядка 7.

В лияние кривизны Земли связано с тем, что земная поверх­ность не является плоско­стью, как это было принято при изучении зако­нов цен­трального проектирования и выводе формул зависимости между ко­ор­динатами точек снимка и местности.

На рис. 3.17 показан плановый снимок P, точка местности M и ее изо­бражение m, от­вес­ная линия SO и центр Земли O, принимаемой за шар ра­диуса R. Точка M₀ является ор­то­гональной проекцией точки M на пред­метную плоскость E, которой на снимке P соответ­ствует точка m⁰. Отрезок mm⁰ и есть смещение _k точки m под влиянием кри­визны Земли, причем геомет­рически _k эквивалентно смещению точки под влия­нием рель­ефа местности, если в формуле (3.40) заменить h на MM₀.

Для определения величины отрезка MM₀ об­ратимся к рис. 3.17, из которого следует, что

Из прямоугольного треугольника OMK по малости угла :

, откуда .

Тогда MM₀=0,5R(rH)²/(fR)², а подста­новка этого значения в (3.40) вместо h дает

. (3.46)

Приняв H=3 км, r=f=100 мм и R= 6370 км, най­дем, что _k= 0,023 мм.

С уммарное влияние кривизны Земли и атмо­сферной рефракции оп­ре­деляется как ал­геб­раи­ческая сумма соответ­ствующих искажений. Знаки искажений всегда противоположны (рис. 3.16, 3.17), следова­тельно, влия­ние кривизны Земли час­тично компен­сируется влия­нием рефракции. Од­нако с уве­личе­нием высоты фото­графи­рования влияние кривизны Земли стано­вится все более ощути­мым.

Ошибка выравнивания фотоматериала в плоскость воз­ни­ка­ет при недоста­точ­ном прижиме пленки к покровному стеклу при­клад­ной рамки (§ 8) при экспонировании. Меха­низм влияния ошибки выравнива­ния по­ка­зан на рис. 3.18, где a и a – изображения точки на по­верхнос­ти эмульсионного слоя и в плос­кости при­кладной рамки соответственно; b – осно­ва­ние пер­пендику­ляра, опу­щен­ного из точки a на плос­кость P. Обо­значив oa=r, ab=f и ab=r, найдем:

. (3.47)

При r=f=100 мм и f =10 мкм получим r=10 мкм.

Как видно, выравнивание фотопленки в плоскость должно выпол­няться с высокой точно­стью, и ее учет осуществляется при обработке снимков на универсальных приборах и аналити­ческим способом.

Деформация фотографического материала возникает при его фотохимиче­ской обра­ботке и хранении материалов. Она прояв­ляется в несовпадении расстояний между па­рами соот­вет­ственных то­чек, изме­ренных на исследуемом фотоматериале до (l₀) и после (l) его фотогра­фической обработки. Показателем деформации является вели­чина отно­шения  = (l – l₀)/l₀. Разли­чают равномерную, неравномер­ную и слу­чайную деформацию.

Равномерной называют деформацию, при которой _x = _y, т. е. изо­бражение меняет свой масштаб, оставляя без изменения величины углов. Влияние равномерной деформации пол­но­стью устраняется при фото­грамметрической обработке с помощью преоб­разований коорди­нат точек вида

. (3.48)

Параметры преобразования a₀, b₀, a и b определяют методом наимень­ших квадратов по ре­зультатам из­мерения координат точек, положение ко­торых из­вестно с высокой точностью.

Неравномерной называют деформацию, при которой _x  _y, т. е. воз­никают смеще­ния изо­бражения и изменения величин углов. Для учета неравномерной деформации приме­няют поли­номы вида:

. (3.49)

Коэффициенты a₀ – a₃ и b₀ – b₃ полиномов определяют по точкам сетки крестов методом наименьших квадратов.

Случайная деформация не подчиняется законам ни ортогональ­ного, ни аффинного, ни по­ли­номиального пре­образования. Ее учет очень сложен, и на прак­тике обыч­но создают такие ус­ловия хранения и обработки фотомате­риала, при которых риск деформации сведен к минимуму. Единствен­ным спо­собом косвенного учета случайной де­формации является оп­ределение ее значений в фиксированных точках сетки крестов и ли­нейная интерпо­ляция поправок. Он и ис­пользуется в современных цифровых фото­грамметрических системах.