§ 21. Преобразования координатных систем

Из аналитической геометрии известно, что ортогональное преобра­зо­вание простран­ст­венных координатных систем OXYZ или Oxyz с со­вме­щенными началами в общем случае описывается через исход­ные, преобразованные координаты и углы между соответствующими координатными осями до и после преобразования, причем для пря­мого и обратного преобразования используют формулы:

(3.1)

где a_i,b_i,c_i (i=1,2,3) – косинусы углов, состав­ленных координатными осями X, Y, Z сис­

темы OXYZ с координатными осями x, y, z сис­темы Oxyz (табл. 3.1).

Величины a_i, b_i, c_i называют направ­ляю­щими косину­сами, или ком­понен­тами мат­рицы орто­гональ­ного преобразования.

Таблица 3.1
Оси	x	y	z
X	a1	a2	a3
Y	b1	b2	b3
Z	c1	c2	c3

Три параметра, от которых зависят значе­ния на­прав­ляющих косину­сов, называют уг­лами Эй­лера, которые в фотограмметрии ото­ждествляют с угло­выми элемен­тами внешнего ориентирования. Выбор углов Эй­лера осуществляется различ­ными спосо­бами, и от того, как это сде­лано, зави­сит вид функ­ции для опре­деления направляющих косинусов. Два под­хода к выбору угловых элемен­тов внешнего ориентирования рассмот­рены в § 20.

Девять направляющих косинусов определяются через три незави­симых угла, следовательно, они должны быть связаны шестью неза­висимыми ус­ло­виями. Таковыми являются:

.

Из этих свойств вытекают и другие, в частности, следующие:

.

Уравнения (3.1) могут быть представлены в матричной форме

(3.2)

или в векторной

,

где R, r – векторы с компонентами, представленными в координатных системах OXYZ и Oxyz соответственно; прямая и транспо­ни­рованная мат­рицы ортогонального преобразования, причем

(3.3)

Имея в виду связь промежуточных координатных систем SXYZ и Sxyz, когда для всех точек аэроснимка z =–f, вместо (3.1) будем иметь:

(3.4)

Если координаты главной точки аэроснимка не равны нулю, то в фор­мулах (3.1) – (3.4) величины x и y заменяют на (x – x_o) и (y – y_o).

§ 22. Определение направляющих косинусов

Для определения направляющих косинусов воспользуемся извест­ными из аналитиче­ской геометрии формулами связи исходных (x, y) и преобра­зованных (x΄, y΄) координат то­чек при повороте координатных осей на угол φ, отсчитываемый против часовой стрелки:

(3.5)

и

. (3.6)

Очевидно, что преобразования, описываемые этими формулами, можно интерпретировать как поворот пространственной координатной системы вокруг оси Z. Тогда, имея в виду определение направляющих косинусов и данные табл. 3.1, матрицы элементарных поворотов вокруг координатных осей X, Y и Z будут иметь следующий вид:

, , , (3.7)

где нижний индекс – обозначение координатной оси, вокруг которой выполнен поворот.

Если поворотов несколько, то суммарный поворот описывается произведением матриц элементарных поворотов, причем, каждый раз умножение выполняется слева. В самом деле, пусть выполняются два последовательных преобразования: вначале , а затем . Второе преобразование можно записать также в виде , откуда .

Таким образом, если поворот осей выполняется вначале вокруг оси X, а затем – вокруг оси Z, то суммарный поворот описывается результирующей матрицей A=A_ZA_X (не A_XA_Z, так как A_ZA_X A_XA_Z). Сопоставляя элементы полученной матрицы с элементами соответствующей матрицы (3.3), легко найти и формулы для вычисления угловых элементов ориентирования.

При выборе последовательности преобразования обратим внимание, что в каждой системе отсчета угловых элементов ориентирования (рис. 3.6, 3.7 и 3.8) один угол (,  и ) лежит в координатной плоскости системы Sxyz, другой (, и t) – в координатной плоскости системы SXYZ, а третий (,  и _с) – в секущей плоскости. Поэтому при взаимном преобразовании координатных системы Sxyz и SXYZ с использованием рассмотренных выше систем элементов внешнего ориентирования существует только одна, строго определенная последовательность поворотов, представленная в табл. 3.2. Кроме того, нужно иметь в виду, что структура матрицы будет определяться тем, какая из формул (3.5 или 3.6) используется для перевычисления координат из одной системы в другую.

Таблица 3.2
Преобразование координатных систем	Последовательность поворотов координатных осей исходной системы при использовании угловых элементов внешнего ориентирования
	, , 	, , 	c, t, 
SXYZ  Sxyz	1. Поворот системы SXYZ вокруг оси SY на угол  в положение SxYz; 2. Поворот системы SxYz вокруг оси Sx на угол  в положение Sxyz; 3. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sz на угол  в положение Sxyz;	1. Поворот системы SXYZ вокруг оси SX на угол в положение SXyz; 2. Поворот системы SXyz вокруг оси Sy на угол  в положение Sxyz; 3. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sz на угол  в положение Sxyz;	1. Поворот системы SXYZ вокруг оси SZ на угол t в положение SxyZ; 2. Поворот системы SxyZ вокруг оси Sy на угол c в положение Sxyz; 3. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sz на угол  в положение Sxyz;
Sxyz  SXYZ	1. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sz на угол  в положение Sxyz; 2. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sx на угол  в положение SxYz; 3. Поворот системы SxYz вокруг оси SY на угол  в положение SXYZ;	1. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sz на угол  в положение Sxyz; 2. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sy на угол  в положение SXyz; 3. Поворот системы SXyz вокруг оси SX на угол в положение SXYZ;	1. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sz на угол  в положение Sxyz; 2. Поворот системы Sxyz вокруг оси Sy на угол с в положение SxyZ; 3. Поворот системы SxyZ вокруг оси SZ на угол t в положение SXYZ;

Так, для установления связи направляющих косинусов с угловыми элементами внешнего ориентирования ,  и  (рис. 3.6) и преобразования системы Sxyz SXYZ в соответствии с табл. 3.2 необходимо:

• записать три матрицы ( ) в нужном порядке (табл. 3.2), с учетом знаков углов (рис. 3.6) и зависимостей (3.5) –(3.7):

• найти результирующую матрицу и сопоставить ее с соответствующим выражением (3.3).

Перемножить две матрицы – значит составить новую, каждый эле­мент ко­торой равен сумме произведений соответствующих эле­мен­тов строк первой матрицы на эле­менты столбцов второй. Таким образом:

.

Сопоставив полученное выражение с (3.3), получим следующие фор­мулы определе­ния направляющих косинусов по угловым элемен­там внешнего ориентирования , , и :

(3.8)

Выполнив те же действия по определению направляющих косинусов через угловые элементы внешнего ориентирования , , и  (рис. 3.7) в соответствии с табл. 3.2 получим:

.

После перемножения трех матриц и сопоставления результирующей с (3.3) получим:

(3.9)

Аналогично для случая использования угловых эле­ментов внеш­него ориентирования _c, t и  (рис. 3.8), будем иметь:

,

или после перемножения

(3.10)

При известных значениях направляющих косинусов угловые элементы внеш­него ориентиро­вания можно опреде­лить по следующим формулам, выте­кающим из (3.8), (3.9) и (3.10):

(3.11)

(3.12) (3.13)

Знак суммарного угла наклона _c условимся счи­тать соответствую­щим знаку про­доль­ного угла наклона  первой сис­темы элементов внешнего ориентирования.