§ 15. Перспектива точки и прямой предметной плоскости

Пусть в предметной плоскости дана прямая AB, и требуется по­стро­ить ее проекцию ab в картин­ной плоскости (рис. 2.5).

Искомая проекция ab лежит в проектирующей плоскости Q, про­хо­дящей через центр проекции S и пря­мую AB, потому для ее на­хож­дения достаточно построить плос­кость Q и про­­вести проек­тирующие лучи SA и SB .

П оскольку прямая AB принад­ле­жит плоскостям E и Q, то линией их пересече­ния является продол­жение пря­мой до ее пересечения с ос­но­ва­нием картины TT в точке l.

П

Q

лоскость Q пересекает плос­кость дей­ствительного горизонта E по прямой Si₁, причем, отрезок Si₁ параллелен исходной прямой AB, поскольку оба они лежат в парал­лельных плоскостях E и E.

Точки i₁ и l принадлежат кар­тин­ной P и проектирую­щей Q плос­­ко­стям, и потому соединяю­щая их пря­мая i₁l является ли­нией пересечения плос­костей P и Q.

Теперь для нахождения иско­мой проекции ab доста­точно про­вести проек­тирующие лучи SA и SB, пере­сечение которых с линией i₁l даст точки a и b.

Т

T

очка i₁ называется точкой схода перспективы прямой пред­мет­ной плоскости AB, линия i₁l – на­правлением перспективы этой прямой, а точка l – двойной. Заме­тим, что точка i₁ является про­ек­цией бесконечно удаленной точки прямой AB, так как является точкой пересе­чения картинной плоскости с проекти­рующим лучом, проведен­ным из центра проекции в эту бес­конеч­но уда­ленную точку. Поэтому главную точку схода i называют точ­кой схода проекций пря­мых пред­метной плос­кости, параллельных проекции глав­ной верти­кали, а ли­нию действитель­ного горизонта h_ih_i – геометри­че­ским ме­стом точек схода проек­ций всех прямых предметной плоскости.

Исходя из изложенного, для построения перспективы прямой предметной плоскости необходимо выполнить следующие действия:

• найти двойную точку, продолжив прямую до пересечения с осно­ванием картины;

• отыскать точку схода проекции прямой, проведя парал­лель­ную ей линию из центра проекции до пересечения с линией действи­тель­ного горизонта;

• провести направление перспективы, соединив двойную точку с точ­кой схода;

• провести в концы прямой предметной плоскости проекти­рующие лучи, пересечение которых с направлением перспек­тивы даст иско­мую проекцию.

Изложенный метод используется и для отыскания проекций от­дельных точек. При этом проектирующая плоскость проводится через исходную точку предметной плоскости, центр проекции и главную точку схода. Для отыскания искомой проекции нужно провести че­рез исходную точку A (рис. 2.5) прямую параллельно проекции главной вер­ти­кали до пересечения с основанием картины TT, соединить полу­ченную двойную точку с главной точкой схода i и провести проекти­рующий луч SA.

§ 16. Теорема Шаля. Эпюры

Н айдем проекцию a точки A предметной плоскости (рис. 2.6) и будем вра­щать картинную плоскость P вокруг основания картины TT и одновре­менно плос­­кость действительного горизонта E вокруг ли­нии дейст­ви­тельного го­ри­зонта h_ih_i вместе с построениями на них, со­храняя взаимную параллельность плоскости действитель­ного го­ри­­зонта и предметной. Вращение прекратим, как только предмет­ная плос­кость E, кар­тинная P и плоскость действительного горизонта E соль­ются в одну, точка S окажется в положении S, точка i – в по­ло­жении i, а точка a – в положении a. По условию Si=Si и il=li.

Докажем, что проекция a точки A при вращении плоскостей сво­его положения не изме­нила.

Из подобных треугольников Sai и Aal следует:

lA/Si=la/ia. (2.2)

Тре­угольники Sai и aAl также по­добны, и можно записать:

lA/Si=la/ia. (2.3)

Так как Si=S i, приравняем ле­вые части выражений (2.2) и (2.3)

la/ia=la/ia

и составим производ­ную пропорции

Поскольку ia+al=ia+al=il, то и ia=ia, т. е. проекция a точки предметной плос­кости A при одновременном вращении плоско­стей своего положения не изменила. Этим до­казана теорема, известная в специальной литературе как теорема Шаля:

Если при одновременном вращении плоскости дейст­вительного гори­зонта вокруг линии действительного горизонта h_ih_i и пред­мет­ной плоскости вокруг основания картины TT сохраняется их вза­им­ная па­раллельно­сть, то проектирующий луч SA всегда прохо­дит че­рез ту же пару со­пряженных точек предметной (A) и картинной (a) плос­костей.

Результат не изменится при одновременном вращении любой пары плоскостей: E и E, E и P, или P и E, если плоскости E и E оста­нутся параллельными. Это обстоятельство имеет в фотограмметрии ис­клю­чи­тельно большое значение и лежит в основе всех методов обра­ботки аэро­снимков с преобразованными связками проектирую­щих лу­чей.

Совмещенное положение всех трех основных плоскостей вместе с по­строениями на них называется эпюром (от французского «épure» – «улучшенный»). Если эпюр получен путем увеличения угла наклона кар­тинной плоскости до 180⁰ (как на рис. 2.6), он называется эпюром рас­тяжения (рис. 2.7), а если уменьшением этого угла до 0⁰ – эпю­ром сложения (рис. 2.8).

Техника отыскания проекции точек и прямых предметной плоско­сти на эпюрах анало­гична рассмотренной в § 15 для решения задачи на про­странственном чертеже, и иллюст­рируется рис. 2.7 и 2.8 (точки схода и двойные точки на чертежах не обозначены).

К недостаткам эпюра растяжения относится наличие острых углов в точках пересечения прямых, затрудняющих уверенное отыскание проек­ций, а эпюра сложения – большая загру­женность чертежа из-за совме­щенного положения картинной и предметной плоскостей.

На эпюре сложения, в силу равенства отрезков Si и ci (фор­мулы 2.1), центр проекции S совпадает с точкой нуле­вых искажений c и ее проекцией C. Это означает, что углы с вершиной в проекции точки нуле­вых искажений C равны проекциям этих углов в картинной плос­кости (с вершиной в точке нулевых искажений c).