Р Дано: , , . ; ; ; ; ешение:

Поскольку движение происходит только в вертикальном направлении, то достаточно одной координатной оси .

Совместим начало отсчета с точкой нахождения лука (рис. 1.3.2).

Н ачальные условия движения стрелы:

, .

Проекция ускорения стрелы на ось в отсутствии сопротивления воздуха равна , т.к. вектор направлен вертикально вниз противоположно направлению координатной оси.

Вторые уравнения систем 1.3.7 и 1.3.8 с учетом начальных условий имеют вид: и .

Пусть при стрела находится в наивысшей точке подъема. Это значит, что и (стрела из точки 0 будет подниматься вверх до тех пор, пока ее скорость не станет равной нулю).

Получаем откуда и .

Пусть при стрела упала в ров. В этот момент и уравнение движения имеет вид:

.

Откуда для получаем , где первое слагаемое – время подъема, второе – время падения. Отрицательный корень физического смысла не имеет, следовательно, время полета стрелы

.

Уравнение с учетом найденного значения имеет вид

,

т.е. скорость стрелы в момент падения направлена вертикально вниз – ее проекция на отрицательна.

Путь , пройденный стрелой за время полета, складывается из двух участков: подъема до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории в ров:

.

Ответ: ; ; ; ; .

Пример 1.3.4. Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени , с одинаковыми начальными скоростями . Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они

«встретятся»? Прокомментировать решение для .

Дано: Решение:

Н

, .

аправим ось вертикально вверх, начало отсчета поместим в точку бросания. Отсчет времени будем вести с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел: 1) , , ; 2) , , . Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны: . Уравнения движения тел в проекциях на ось с учетом начальных условий имеют вид: , .

Условие «встречи»: , то есть .

Решая это уравнение относительно , находим .

Проанализируем полученное выражение при .

Время полета тела, брошенного вертикально (пример 1.3.3) вверх, до наивысшей точки подъема равно , т.е. общее время полета равно . Если , то . Это означает, что сначала упадет на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания.

Ответ: .

П ример 1.3.5. Мяч бросили с башни высотой над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость , направленную горизонтально. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить 1) время полета мяча до его падения на землю; 2) дальность полета мяча; 3) скорость мяча в момент падения; 4) радиус кривизны траектории мяча через после начала движения.

Дано: Решение:

Н

, ,

.

; ; ;

аправим оси прямоугольной системы координат так, как показано на рис. 1.3.3. Начало отсчета поместим на поверхности земли под точкой бросания. Начальные условия:

, , , .

Проекции ускорения мяча на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:

, .

Запишем системы уравнений 1.3.7 и 1.3.8 с учетом этих значений:

(1) (2)

Пусть при мяч упал на землю. Это означает, что , и уравнения системы (2) принимают вид: Решая их, находим

В момент падения на землю система уравнений (1) принимает вид:

С учетом найденного значения получим , следовательно, скорость мяча в момент падения на землю будет равна:

.

Направление вектора скорости в любой момент времени определяется углом , который вектор составляет с горизонтом, причем

.

Полное ускорение при движении мяча в поле тяготения Земли всегда равно и направлено вертикально вниз. Поэтому .

Из рис. 1.3.3 видно, что . Учитывая, что , а полная скорость , находим радиус кривизны траектории в любой момент времени: .

В момент времени после начала движения .

Ответ: , , .

Пример 1.3.6. Снаряд выпущен из пушки с начальной скоростью под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) время подъема снаряда на максимальную высоту ; 2) наибольшую высоту подъема снаряда ; 3) дальность полета снаряда ; 4) время полета до момента падения снаряда на землю; 5) скорость в момент его падения на землю; 6) радиус кривизны траектории снаряда в ее наивысшей точке; 7) уравнение траектории снаряда.