1.3. Ускорение и его составляющие

Чаще всего приходится иметь дело с движением, в котором вектор скорости не остается постоянным, а меняется как по модулю, так и по направлению.

Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Пусть вектор задает скорость материальной точки в положении А в момент времени . За время движущаяся точка перешла в положение B и приобрела скорость , отличающуюся от как по модулю, так и по направлению (рис. 1.3.1). Перенесем вектор в точку А и найдем вектор изменения скорости .

С редним ускорением неравномерного движения называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к тому интервалу времени, за который это изменение произошло:

. (1.3.1)

Вектор совпадает по направлению с вектором изменения скорости.

Мгновенным ускорением называется величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение материальной точки:

. (1.3.2)

Таким образом, мгновенное ускорение – векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Пример 1.3.1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид: . Найти: 1) среднюю путевую скорость за промежуток времени от до ; 2) мгновенную скорость и модуль мгновенной скорости в указанные моменты времени; 3) среднее ускорение за промежуток времени от до ; 4) мгновенное ускорение и модуль мгновенного ускорения в указанные моменты времени.

Р Дано: , , . Ешение:

1. С редняя путевая скорость находится по формуле 1.2.2:

.

Найдем положения движущейся точки в указанные моменты времени: (м),

(м).

Тогда .

2) При прямолинейном движении мгновенная скорость в любой момент времени (формула 1.2.4): .

Модуль мгновенной скорости в указанные моменты времени:

, .

3) Модуль среднего ускорения (формула 1.3.1):

.

4) Мгновенное ускорение в любой момент времени (формула 1.3.2):

.

Модуль мгновенного ускорения в указанные моменты времени:

, .

Ответ: , , , , , , , .

Разложим вектор изменения скорости на две составляющие: вдоль направления мгновенной скорости и перпендикулярно этому направлению , то есть по касательной к траектории движения и нормали к траектории:

.

Тогда ,

где вектор направлен по касательной к траектории, характеризует быстроту изменения скорости по модулю и называется тангенциальным ускорением; вектор направлен к центру кривизны траектории, характеризует быстроту изменения скорости по направлению и называется нормальным ускорением.

Численные значения тангенциального и нормального ускорений соответственно равны:

, , (1.3.3)

где радиус окружности, которая в окрестности данной точки совпадает с траекторией.

Мгновенное ускорение также называют полным ускорением. Численное значение полного ускорения:

. (1.3.4)

Зная зависимость ускорения от времени , можно найти зависимость скорости от времени

.

Пример 1.3.2. Машина идет по закругленному шоссе. Зависимость радиуса-вектора от времени задана уравнением: . Найти:1) мгновенную скорость машины и значение скорости в момент времени ; 2) тангенциальное и нормальное ускорение в указанный момент времени; 3) радиус кривизны шоссе.

Дано: Решение:

1

, .

) Мгновенная скорость .

У читывая, что , а ; ; и , подставив , получим значение скорости .

2) Полное ускорение – ускорение постоянно по величине, а знак «–» указывает, что движение машины замедленное (модуль скорости уменьшается).

Тангенциальное ускорение .

При , .

По 1.3.4 , получим в момент времени .

3) Радиус кривизны окружности по 1.3.3 .

О твет: , , , ,

Если ускорение тела не зависит от времени и остается постоянным в процессе движения , то движение называется равнопеременным (при этом и траектория движения не обязательно прямолинейная).

При равнопеременном движении скорость тела изменяется с течением времени по закону

, (1.3.5)

где скорость в начальный момент времени.

В свою очередь, зависимость имеет вид:

, (1.3.6)

где начальный радиус-вектор тела.

Величины и представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы и .

При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям 1.3.5 и 1.3.6 соответствуют следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы координат:

(1.3.7) (1.3.8)

где и начальные абсцисса и ордината тела при , и проекции

начальной скорости тела на координатные оси, и проекции вектора ускорения на оси и соответственно. В принципе, формулы 1.3.5 и 1.3.6 или равносильные им системы 1.3.7 и 1.3.8 позволяют решить любую задачу на движение тела с постоянным ускорением.

Наглядным примером равнопеременного движения является движение тела в поле тяготения Земли. Для решения задач в этом случае надо заменить в формулах 1.3.7 и 1.3.8 ускорение на ускорение свободного падения , сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяготения Земли.

Примечание: во всех примерах, если в условиях не оговорено иное, будем считать ускорение свободного падения равным .

П ример 1.3.3. Стрела выпущена из лука вертикально вверх с башни высотой со скоростью . У основания башни находится ров глубиной . Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: время подъема на максимальную высоту и максимальную высоту подъема ; время полета стрелы до падения на дно рва, скорость стрелы в момент падения и путь, который пролетела стрела за это время.