3.2. Кинетическая и потенциальная энергии

Энергия – это универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.

1. Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение тела.

Если сила действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью , то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа силы на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до , идет на увеличение кинетической энергии тела, т.е. .

Запишем второй закон Ньютона в скалярной форме: . Умножим обе части равенства на модуль перемещения : . Но , а , следовательно, . Учитывая, что , получим , откуда

. (3.2.1)

Таким образом, тело массой , движущееся со скоростью , обладает кинетической энергией . Кинетическая энергия – это функция движения тела, т.к. зависит только от его массы и скорости.

2. Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называют потенциальными, а силы, действующими в них – консервативными. Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называют диссипативными. Диссипативной, например, является сила трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией , которая определяет с точностью до некоторой постоянной величины. Это, однако, не отражается на физических законах, т.к. в них входит разность потенциальных энергий. Поэтому потенциальную энергию какого-либо определенного положения тела считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию других уровней отсчитывают относительного нулевого уровня.

Потенциальная энергия тела определяется работой, которую совершали бы действующие на него внешние силы, преодолевающие консервативные силы взаимодействия, перемещая его из начального состояния, где потенциальная энергия равна нулю, в данное положение.

Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с обратным знаком: . Отметим, что изменение потенциальной энергии тела , а это убыль потенциальной энергии (тело всегда самопроизвольно стремится перейти в положение, где его потенциальная энергия будет минимальной).

Найдем связь между потенциальной энергией и консервативной силой. Работа , следовательно, . Таким образом, если известна функция ,

то из этой формулы можно найти величину силы по модулю и ее направление.

Потенциальная энергия может быть представлена

, (3.2.2)

где постоянная интегрирования. Полагая , находим, что

, (3.2.3)

где ,

где единичные векторы координатных осей.

Учитывая, что , находим проекции консервативных сил на координатные оси: .

П ример 3.2.1. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от расстояния до центра поля задается выражением , где и положительные постоянные. Определить значение , соответствующее равновесному положению частицы.