Р Дано: , , , , , , . Ешение:

Поместим начало координат в центр стержня.

Рис. 2.5.2. К примеру 2.5.2

Координата центра масс (по формуле 2.5.3):

.

Координаты шариков равны:

Следовательно, .

Ответ: .

Пример 2.5.3. Материальные точки массой каждая расположены в в ершинах треугольника со сторонами , и . Найти положение центра масс системы.

Дано:

,

,

,

.

Решение:

В ведем систему координат. Начало координат совместим с одной из точек. Данный треугольник является прямоугольным (рис. 3.5.3). Частица имеет координаты , частица имеет координаты , частица имеет координаты .

Координаты центра масс (по формуле 2.5.3)

,

Ответ: координаты точки .

Пример 2.5.4. Определить положение центра масс одн ородного конуса высотой .

Р Дано: ешение:

В ыберем систему координат так, чтобы начало отсчета совпадало с вершиной конуса, а ось была направлена вдоль оси симметрии. При этом . Центр масс будет располагаться на оси симметрии.

Пусть конус имеет радиус основания . Чтобы найти координату , разобьем конус на бесконечное число цилиндров малой высотой .

Масса каждого такого цилиндра равна , где плотность вещества однородного конуса. Получаем .

Из подобия треугольников, образованных образующей конуса, осью и радиусами и , получаем: , следовательно, и .

Масса конуса , поэтому .

О твет: .

Глава 3. Работа и энергия

3.1. Работа и мощность

Д ля количественной характеристики процесса взаимодействия между телами вводят понятие работы, совершаемой силой.

1. Е сли тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , составляющая угол с направлением перемещения (рис. 3.1.1), то работа этой силы равна:

, (3.1.1)

где путь пройденный точкой приложения силы (путь и перемещение совпадают). Учитывая, что , где проекция силы на направление перемещения, то .

2. Если тело движется произвольным образом, то сила может изменяться по модулю и направлению. В этом случае пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов так, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного элемента – постоянной (рис. 3.1.2).

Э лементарной работой силы на перемещении называется скалярная величина

,

где , проекция вектора на вектор .

Работа силы на всем пути равна сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути:

. (3.1.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость от вдоль траектории. Если эта зависимость представлена графически, то работа определяется заштрихованной площадью (рис. 3.1.3). Отметим, что при работа силы положительна , при работа силы отрицательна . В случае, если , сила работу не совершает .

Единица работы – джоуль (Дж).

П ример 3.1.1. Вычислить работу, совершаемую на пути равномерно возрастающей силой, если в начале пути сила , а в конце пути .