41. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Алгебраическая форма

Запись комплексного числа   в виде  ,  , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что  ):

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную   и мнимую   части комплексного числа выразить через модуль   и аргумент   ( ,  ), то всякое комплексное число  , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где   — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

42. Действия над комплексными числами

Сложение и вычитание

        По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:

(a₁ + b₁i ) + (a₂ + b₂i ) +...+  (a_n + b_ni ) = (a₁ + a₂ + ...+ a_n ) + (b₁+ b₂+...+ b_n ) i = a + bi

        Операция введена, так как получили элемент того же множества.

        Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a₁ + b₁i) – (a₂ + b₂i ) определяется из условия:

(x + iy) + (a₂ + b₂i ) = (a₁ + b₁i)  .

        Из правила сложения получаем:

x + a₂ = a₁, y + b₂ = b₁.

        То есть x = a₁ – a₂,   y = b₁ – b₂ и разность

(a₁ + b₁i ) – (a₂ + b₂i ) = (a₁ – a₂ ) + (b₁– b₂) i.

Умножение комплексных чисел

        Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению  модулей сомножителей, а аргумент –  сумме аргументов сомножителей.

        Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

        Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a₁ + b₁i) (a₂ + b₂i ) = x + iy.

Имеем  .

Согласно определению умножения можем записать:

.

Распишем:       ,

,

.

Окончательно получим:

.

        Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

        Если  z  = а + b i  –  комплексное число, то число   называется сопряжённым с числом z . Его обозначают при помощи черты над числом.

, но  , следовательно,  .

Деление комплексных чисел

.

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то правило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число(a₁ + b₁i )  на другое комплексное число  (a₂ + b₂i ), то есть найти  , нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

.

        В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой.