21 Билет.

Производная по направлению

 Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z), определенную на множестве G. Пусть точка  . Через точку М0 проведём прямую l. Выберем произвольно на l точку М1 и установим таким образом направление  . Т огда l – прямая с выбранным направлением.

 Пусть М(x,y,z) – переменная точка на прямой l. Через М0М обозначим ориентированную длину отрезка М0М, т.е. М0М=|М0М|, если направление отрезка совпадает с направлением l (точки М и М1 лежат по одну сторону от точки М0) и М0М=-|М0М|, если направление отрезка не совпадает с направлением l. Полное приращение функции:

   .

 Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется производной функции f в точке М0 по направлению l.

Обозначается  .

 Замечание. Производная   функции f(x) в точке х0- это скорость изменения функции в точке х0. Частная производная   - скорость изменения функции в точке М0 по направлению оси Ох; частная производная   - скорость при функции в точке М0 по направлению оси Оу, а  - по направлению оси Oz. Тогда   - скорость изменения функции в точке М0 по направлению l. Если направление l совпадает с положительным направлением оси Ох, то  = . Аналогично для  . Т.е. частные производные функции – это производные по направлению координатных осей.

 Теорема (достаточное условие существования производной по направлению l). Если u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М0, то в этой точке существует производная по направлению, исходящему из точки М0, и

, (1)

где    - направляющие косинусы направления l (координаты единичного вектора в этом направлении).

22.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.

Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Необходимые и достаточные условия экстремума

Теорема .1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'x(х0;у0)=0, ƒ'y(х0;у0)=0.Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х0) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0.

Аналогично можно показать, что ƒ'y(х0;у0) = 0.

Геометрически равенства ƒ'x(х0;у0)=0 и ƒ'y(х0;у0)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функ ции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z'x=у и z'y — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f''xx(x0;y0), В=ƒ''xy(х0;у0), С=ƒ''уy(х0;у0). Обозначим

Тогда:

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные

23.

Условный экстремум

Условный экстремум, относительный экстремум, экстремум функции f (x1,..., xn + m) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):

jk(x1,..., xn + m) = 0, 1£ k £ m (*)

(см. Экстремум). Точнее, функция f имеет У. э. в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае У. э. функции f (x, у) при условии j(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f (x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую j(х, у) = 0. В точке У. э. линия j(х, у)= 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня [см. Уровня линии (поверхности)] функции f (x, у). При некоторых дополнительных условиях на уравнения связи (*) разыскание У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x1 + 1.., xn + m из уравнения (*) через x1,..., xn и подставив эти выражения в функцию f. Др. метод решения – Лагранжа метод множителей.

Задачи на У. э. возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.

Многие задачи вариационного исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии, что др. функционалы имеют заданное значение (см., например, Изопериметрические задачи)или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям связи, и т.д. Решение таких задач также проводится методом множителей Лагранжа.

5.2 Глобальный экстремум (наибольшее и наименьшее значение функции)

Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений.

1) Найти критические точки, лежащие внутри области, вычислить значение функции в этих точках.

2) Исследовать функцию на границе области; если граница состоит из нескольких различных линий, то исследование необходимо провести для каждого участка отдельно.

3) Сравнить полученные значения функции и выбрать наибольшее и наименьшее.

24

Эмпирическими формулами называют формулы, служащие для аналитического представления опытных данных( результатов наблюдений, измерений), которые представлены в виде таблицы.

Надо определить вид зависимости, лучше с помощью нанесения на координатную плоскость. После надо определить ее коэффициенты, чтоб формула была наилучшей. При выборе коэф. эм. фор. используем метод наименьших квадратов(МНК)

.

E_K=ax_K+b-y_K

3 и 4формулы для двух и трех переменных соответственно. Они дают систему нормальных уровнений, которые, в свою очередь, дают точки минимума.

Из третей формулы:

Из четвертой формулы:

25.