1.

Последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Определение.Число   называется пределом последовательности  , если для любого положительного числа   найдется член последовательности такой, что все члены последовательности  , следующие за ним, отстоят от   меньше, чем на  .

Определение. Число   называется пределом последовательности  , если в любом открытом промежутке, содержащем число  , содержатся все члены последовательности  , начиная с некоторого.

Теорема (о единственности предела).

Если   — предел последовательности   и   — предел последовательности  , то  .

Доказательство. Предположим, что  . Возьмем  . Найдется такой номер  , что 

также существует 

Возьмем  , которое больше   и  . Тогда

Обозначение.   есть предел  :

,

 —   стремится (сходится) к  ,

Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение. Последовательность называется строго возрастающей (возрастающей) [строго убывающей]  убывающей , если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) [меньше]  не больше  предыдущего члена.

Последовательности (строго) возрастающая и (строго) убывающая называются (строго) монотонными.

Определение. Последовательность   называется ограниченной, если существует  .

Геометрическая интерпретация предела переменной

   Из определения предела следует: если переменная x_n имеет пределом число a, то это значит, что как бы мало не было любое наперед заданное положительное число e, всегда можно найти такое значение x_N, что все последующие ее значения будут удовлетворять неравенству

|x_n - a| < e при n і N       (1)

   Легко видеть, что неравенство (1) равносильно следующим двум неравенствам:

-e < x_n - a < e       (2)

   В самом деле, если x_n - a > 0, то из неравенства x_n - a < e имеем |x_n - a| < e. Если же x_n - a < 0, то из неравенства -e < x_n - a имеем|x_n - a| < e.    Прибавляя a ко всем частям неравенств (2), получаем два других неравенства, равносильных неравенству (1):

2.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Основные свойства:

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

Эквивалентные бесконечно малые - Если  , то бесконечно малые величины   и   называются эквивалентными ( ).

4.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы  

                                                (6.4)

                                                          (6.5)

                                                    (6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0,  /, 0  ,  -  являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.                                                                                    (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

                                                                                                                        (6.8)

                                                                                                                     (6.9)

Теорема 3.     

                                                                                                                                                                                    (6.10)

                                                                                                                                                                         (6.11)

где e  2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Теорема 1. Если последовательности { } и { } имеют пределы, то

.

Доказательство.

, ₁ >0 N₁n (n  N₁ )

, ₂ >0 N₂n (n  N₂ )

Рассмотрим последовательность .

.

₃ >0 N₃n (n  N₃ ) ,

, при этом

N₃ = max{N₁, N₂}, что и требовалось доказать.

Теорема 2. (Необходимые и достаточные условия существования предела последовательности):

Необходимость. Если , то

, где - б.м. последовательность.

Достаточность. Если , где - б.м. последовательность, то

.

5.

Предел функции по Гейне Значение   называется пределом (предельным значением) функции    в точке  , если для любой последовательности точек   , сходящейся к  , но не содержащей   в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности   ), последовательность значений функции  сходится к  . ^

Предел функции по КошиЗначение   называется пределом (предельным значением) функции    в точке  , если для любого наперёд взятого положительного числа  найдётся отвечающее ему положительное число   такое, что для всех аргументов  , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  .

Односторонние пределы.

Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a:

если

|A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε).

Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в точке a:

если

|A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε).

Для  существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы

f (a - 0) = f(a + 0).

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие существования предела). Функция y = f(x)

имеет конечный предел в точке a, тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 найдётся

такое δ > 0, что для всех x и x′ , удовлетворяющих неравенствам 0 < |x − a| < δ, 0 < |x′ − a| < δ, выполнено неравенство |f(x) − f(x′)| < ε.

Аналогичные условия можно сформулировать для существования конечного предела в плюс и

минус бесконечности.

Предложение 4. Если функция имеет предел в точке a и a1, a2, . . . , an, . . . — такая последовательность, что lim n→∞ an = a, то lim x→a f(x) = lim n→∞ f(an).

6.

1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные

бесконечно малые и бесконечно большие функции и использование их на

практике

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Эквивалентные величины

Если  , то бесконечно малые величины   и   называются эквивалентными ( ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При   справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• 

• 

• 

• 

• , где  ;

• 

• , где  ;

• 

• 

• , поэтому используют выражение:

, где  .

7.

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если 

На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :

1. Функция f (x) определена в точке x = a;

2. Предел   существует;

3. Выполняется равенство  .

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции f (x)  в точке : f( = f( = f(

Для непрерывной функции бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции . т.е. если ∆x->0,то и ∆f(x)->0

F(x) непрерывна на [а;в],если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Точка разрыва функции-это точка в которой нарушены условия непрерывности.

Классификация точек разрыва:

1. называют точкой Устранимого разрыва, если f( = f( ≠ f(

2. называют точкой разрыва 1го рода, если в этой точке у функции существуют конечные односторонние пределы , но f( ≠f( . При этом разность f( - f( называют скачком функции в точке .

3. называют точкой разрыва 2го рода , если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов.

8.

Похідна функції – основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції.

Функцію, що має кінцеву похідну, називають диференційною.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде (1). Поделив (1) на D x№ 0 получим

D y/D x = A+a(D x).

Переходя к пределу в последнем выражении при D x® 0, получим, что A=f'(x).

Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел

limD x® 0D y/D x = f'(x).

Обозначим a(D x) = D y/ D x-f'(x). Отсюда вытекает представление (1).

Пример 4. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.

Решение. Найдем приращение функции в точке x = 0 :

D y = |D x|

Поэтому

limD x® -0D y/D x = -1, limD x® +0D y/D x = 1,

следовательно, функция |x| в точке x = 0 не дифференцируема.

9.

Геометрический смысл производной

Производная функции y=f(x) в точке x=x₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке.

Используя этот факт, запишем уравнение касательной в точке x=x₀ y — f(x₀) = f^`(x₀)(x — x₀)

Механический смысл производной

Пусть S=S(t) является функцией зависимости пути от времени. Тогда

Отсуда следует, что производная функции равняется мгновенной скорости изменения функции.

Эластичность есть мера изменения зависимой переменной в ответ на изменение независимой переменной. Пусть y(x) -функция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение y(x)/x описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением D y/D x.  Производная   выражает предельные (маргинальные от английского "marginal") издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины. Эластичностью функции Ex(y) называется величина   Считаем, что y(x) эластична в точке x, если |Ex(y)|>1, y(x) неэластична, если |Ex(y)| <1, и нейтральна, если |Ex(y)| = 1. Свойства эластичности. Эластичность - безразмерная величина, ее значение не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функция. Если u = Ax, v = By, то Eu(v) = (dv/du)· u/v=(B/A)· (dy/dx)· (Ax/By) = Ex(y); Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины Ey(x) = (dx/dy)·(y/x) = 1/Ex(y). Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции Ty = (ln y)' = y'/y, то есть Ex(y) = xTy. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций: Ex(uv) = Ex(u)+Ex(v), Ex(u/v) = Ex(u)-Ex(v). Из последнего свойства следуют формулы Ex(xy) = Ex(x)+Ex(y) = 1+Ex(y) отсюда, если Ex(y)>-1, то xy монотонно возрастает; если Ex(y)<-1, то xy монотонно убывает. Аналогично, Ex(y/x) = Ex(y)-Ex(x) = Ex(y)-1

10.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть  .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно, f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

.

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Доказательство. Пусть  . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому  .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .

Следствие 2. Предел степени равен степени предела: .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Доказательство. Пусть  . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

.

Дробь  является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c²≠0.

11.

Дифференцирование неявной функции.

а) Пусть дано уравнение, связывающее две переменные х и у. Если все члены этого уравнения перенести в левую часть, то оно будет иметь вид

(1)

Уравнение (1) вообще говоря, определяет одну или несколько функций . Например, уравнение определяет одну функцию , а уравнение определяет две функции и .

Если в рассмотренные уравнения вместо у подставить найденные функции, то они обратятся в тождества.

Определение: Всякая непрерывная функция , обращающая уравнение в тождество, называется неявной функцией, определяемой уравнением .

Не всякое уравнение определяет неявную функцию. Так уравнение не удовлетворяет ни одной паре действительных чисел и, следовательно, не определяет неявную функцию. Сформулируем условия, при которых уравнение определяет неявную функцию .

Пусть дано уравнение (1)

б) Теорема существования неявной функции.

Если функция и её частные производные и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и при этом , а , то уравнение определяет в этой окрестности точки единственную неявную функцию , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале, содержащем точку , причём .

Геометрически это означает, что в окрестности точки кривая представляет собой график непрерывной и дифференцируемой функции .

в) Производная неявной функции.

Пусть левая часть уравнения удовлетворяет условиям, указанным в теореме, тогда это уравнение определяет неявную функцию , для которой в окрестности точки имеет место тождество относительно х: . Тогда , при любом х из окрестности х₀.

По правилу дифференцирования сложной функции

и, значит, .

Отсюда

или (2)

По этой формуле находится производная неявной функции (одной переменной ).

Пример: х³+у³-3ху=0

Имеем х³+у³-3ху, =3х²-3у =3у²-3х

= - .

Обобщим понятие неявно заданной функции на случай функции нескольких переменных.

Уравнение (3) определяет неявно заданную функцию , если эта функция непрерывна и обращает уравнение в тождество, т.е. (4).

Условия существования и единственности неявно заданной функции формулируются аналогично.

Найдём и :

= -

= -

Пример:

2х

2у

Тогда

= - ; = - .

Дифференцирование функции заданной параметрически

Если функция у аргумента х задана параметрическими уравнениями , то

.

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями: .

Предположим, что эти функции имеют производные и что функция имеет обратную , которая так же имеет производную . тогда определенную параметрическими уравнениями функцию y=f(x) можно рассматривать ак сложную функцию , t – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получим: . На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует: . После подстановки получаем :

 Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/Dх=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.                                             (3)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (3), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (3) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх,                                              (4)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (4) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

<< Пример 3  

Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x²-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х²-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 4

Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

12.

Теорема Ферма.

Функция f(x) непрерывна на открытом интервале (a;b) в точке х₀, которая принадлежит (a;b), она достигает своего max и min. Тогда если существует f `(x<sub>0</sub>), она равна 0 (f `(x₀)=>0)

Следствие из теоремы Ферма:

В точке локального экстремума х₀, Є (a;b) f(x₀)=0, если она существует.

(которая принадлежит=Є)

13.

1. Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что:

Е сли вещественная функция, непрерывная на отрезке   и дифференцируемая на интервале  , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция   непрерывна на отрезке   идифференцируема в интервале  , то найдётся такая точка  , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке  найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

2. Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексного переменного.

Для любой функции  , аналитической в некоторой односвязной области   и для любой замкнутой кривой  справедливо соотношение 

3) Ограниченой называется переменная Х_n, если существуеттакое число А>0, что для всех n выполняется условие |X_n|<A. Если переменная Х_n имеет редел, то она ограниченная. Если переменная Х_n не принемает нулевых значений и l , то переменная - ограниченная

Произведение ограниченой величині на безконечно малую есть безконечно малая величина.

31)Несобственными інтегралами называются:

1) интегралы с бесконечными пределами;

2) интегралы от неограниченных фунуций

Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до +

определяется равенством .

Если этот предел существует и бесконечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности- расходящимся.

Аналогично /

Если функция f(x) не ограничена на интервале (a;b] или [a;b), но ограничена и интегрируема на любом интервале [a+альфа;b] или [a;b-альфа], то по определению полагают или, соответственно, . Если эти пределы существуют, то несобственные интегралы называются сходящимися, в противном случае- расходящимися.

Если функция f(x) не ограничена на [a;c) и(c;b], где a<c<b, но ограничена и интегрируема на любых интервалах [a;c;-альфа] и [c+ B;b], то в этом случае полагают .

14

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа ) Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x₀ и некоторой ее окрестности, причемg'(x)  0 для любого x из этой окрестности, и пусть f(x₀) = 0, g(x₀) = 0 (следовательно, f(x), g(x) – бесконечно малые при ). Если существует, то существует и = . (2.18) Доказательство. Равенство (2.18) называют правилом Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа . Дадим значению аргумента x₀ приращение x, такое, чтобы точка x = x₀ + x принадлежала рассматриваемой окрестности точки x₀. Случай 1.x > 0, тогда x >x₀. Функции f(x), g(x), рассматриваемые на отрезке [x₀, x], удовлетворяют теореме Коши, поэтому найдется такое c (x₀, x), что выполняется равенство: = . Так как f(x₀) = g(x₀) = 0, то получим: = . Заметим, что число c зависит от x, но если , то , так как x₀ <c <x. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем: = = = . Случай 2.x < 0, тогда x <x₀. Функции f(x), g(x), рассматриваемые на отрезке [x, x₀], удовлетворяют условиям теоремы Коши, и потому доказательство аналогично, как в случае 1. Итак, теорема Лопиталя доказана. Замечание 1. Теорема Лопиталя справедлива и в том случае, когда функции f(x), g(x) не определены в точке x₀, но f(x) = 0 и g(x) = 0. В самом деле, если доопределить f (x), g(x), положив f(x₀) = g(x₀) = 0, тогда f(x), g(x) будут непрерывны в точке x₀, а потому теорема Лопиталя будет применима к ним. Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда f(x) = 0, g(x) = 0. Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа ) Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы в окрестности точке x₀, за исключением самой точки x₀, причемg'(x)  0, и пусть f(x) = , g(x) = . Если существует , то существует и = . Доказательство этой теоремы мы не приводим, его можно найти в учебниках. Отметим, что эта теорема верна для случая, когда x, в этом можно убедиться, повторяя рассуждения замечания 2. Замечание 3. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует. Замечание 4. Если при x x₀ (x ) является неопределенностью типа или , и (x), g'(x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то = = . Таким образом, для раскрытия неопределенностей типа или иногда приходится применять правило Лопиталя несколько раз.

Замечание 5. Теорема Лопиталяостается верной и тогда, когда = .

15.