Получение

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта S' со скоростью   S' при этом сама движется поступательно с абсолютной линейной скоростью   и одновременно вращается с угловой скоростью   в инерциальной системе координат S.

Тогда линейная скорость тела в неподвижной инерциальной системе координат равна:

, причем 

где   — радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета S'. Продифференцируем данное уравнение:

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

где   — линейное ускорение тела относительно системы S' в предположении ее неподвижности,   — угловое ускорение системы S' .

Таким образом, получаем:

Слагаемое   и будет кориолисовым ускорением, образованном от взаимного влияния переносного поворотного и относительного поступательного движений.

Заметим, что если система S также является неинерциальной и движется относительно другой системы, а та другая относительно следующей и т. д., то величины   ,   для системы S' в последнем уравнении следует считать полными — то есть как сумму собственных ускорений (скоростей) всех систем координат (каждой относительно предыдущей), начиная с первой подвижной системы, а   — абсолютным ускорением поступательного движения S' относительно неподвижной инерциальной системы координат.

Заметим также, что в частности, чтобы тело относительно неинерциальной системы отсчета двигалось прямолинейно по радиусу к оси вращения (см. рис.), необходимо приложить к нему силу, которая будет противодействующей суммы Кориолисовой силы   , переносной вращательной силы   и переносной силы инерции поступательного движения системы отсчета   . Составляющая же ускорения   не отклонит тело от этой прямой так как являетсяосестремительным переносным ускорением и всегда направлена по этойпрямой. Действительно, если рассматривать уравнение такого движения, то после компенсации в нем вышеупомянутых сил получится уравнение  , которое если умножить векторно на  , то с учетом   получим относительно   дифур  , имеющий при любых   и   общим решением  , которое и является уравнением такой прямой —   .

Пусть тело движется со скоростью   вдоль прямой к центру координат инерциальной системы отсчёта (см. рис.).

Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения   и, как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с движущейся точкой - ее переносной скорости.

Как мы знаем, эта скорость движения равна  Данное изменение будет равно: Проведя дифференцирование по времени, получим   (направление данного ускорения перпендикулярно   и  ).

С другой стороны, вектор   для точки, остающейся неподвижной относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол  . Или приращение скорости будет  при   соответственно второе ускорение будет: Общее ускорение будет   Как видно, система отсчёта не претерпела изменения угловой скорости  Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся   Тем не менее, ускорение не равно нулю.

Если тело движется перпендикулярно направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора скорости останется   а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

Если вращающаяся лаборатория, принимаемая за неинерциальную систему отсчёта, имеет конечный момент инерции, то в соответствии с законом сохранения момента импульса при движении тела по радиусу, перпендикулярному оси вращения, угловая скорость вращения будет увеличиваться (при движении тела к центру) или уменьшаться (при движении тела от центра). Рассмотрим эту ситуацию с точки зрения неинерциальной системы.

в природе:Сила Кориолиса, вызванная вращением Земли, может быть замечена при наблюдении за движением маятника Фуко, берег реки, рельсы-один изнашивается быстрее, вода в раковине про и по

Силы инерции — силы, обусловленные ускоренным движением неинерциальной системы отсчета (НСО) относительно инерциальной системы отсчета (ИСО). Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:  , где   — сила, действующая на тело со стороны других тел;   — сила инерции, действующая на тело относительно поступательно движущейся НСО.   — ускорение НСО относительно ИСО. Она появляется, например, в самолете при разгоне на взлетной полосе;   — центробежная сила инерции, действующая на тело относительно вращающейся НСО.   — угловая скорость НСО относительно ИСО,   — расстояние от тела до центра вращения;   — кориолисова сила инерции, действующая на тело, движущееся со скоростью   относительно вращающейся НСО.    — угловая скорость НСО относительно ИСО (вектор направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта).

ВЫВОД ФОРМУЛЫ СИЛЫ КОРИОЛИСА

Пусть, материальная точка, движущаяся относительно вращающейся системы отсчета (ВСО) по прямой, проходящей через ось вращения, переместилась из точки A в точку B.  — скорость материальной точки относительно ВСО. Изменение относительной скорости движения материальной точки после перемещения: . Переносные скорости материальной точки в точках A и B: , . Составляющие перемещения материальной точки: , .

Изменение абсолютной (относительно ИСО) скорости материальной точки:

, , . Ускорение материальной точки относительно ИСО: . Сила инерции направлена в сторону противоположную ускорению и равна по величине силе, вызывающей ускоренное движение материальной точки относительно ИСО: , где   — центробежная сила инерции;  — кориолисова сила инерции (сила Кориолиса).

Потенциальная энергия системы – это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил. Убыль потенциальной энергии равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

Е_П1 - Е_П2 = Е_П = А_12конс, .

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе,кон совершаемой консервативной силой при переводе системы из

Fтр = μ N,

данного состояния на нулевой уровень.

Свойства потенциальной энергии.

1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной

функцией механического состояния системы.

2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора уровня с нулевой потенциальной энергией.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

,

причем , , .

Примеры потенциальной энергии:

1) – потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h относительно нулевого уровня энергии в поле силы тяжести;

2. – потенциальная энергия упругого деформированного тела, х – деформация тела.

Закон сохранения механической энергии

Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии взаимодействия этих тел друг с другом и с внешними телами:Е = Е_к + Е_п.

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних): .

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия системы тел, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.Космические скоростисуществует такая горизонтально направленная скорость, при которой тело, падая на Землю, тем не менее, на нее не упадет, а будет двигаться вокруг Земли, оставаясь от нее на одном и том же расстоянии, т.е. будет двигаться по окружности.

При такой скорости тело будет приближаться к Земле вследствие ее притяжения как раз настолько, насколько, из-за кривизны поверхности нашей планеты, оно будет от нее удаляться. Эту скорость, которую называют первой космической, вы знаете из курса физики. Находим мы ее, приравнивая центростремительную силу к гравитационной: mu12/RA=GmMA/RA2

. Первая космическая скорость – скорость необходимая чтобы стать ИСЗ, она уменьшается с увеличением радиуса вращения ИСЗ.

  Вторая космическая (параболическая) скорость v2 – это скорость, необходимая для того, чтобы перестать быть ИСЗ. Она находится из равенства нулю полной механической энергии спутника Eп=Ек-Еp=0 или равенства кинетической и потенциальной энергии: Ек=Еp; Ек=mv22/2; Потенциальная энергия  равна работе, которую необходимо совершить, чтобы удалить тело на бесконечное расстояние от Земли, тогда оно, естественно, перестанет быть спутником нашей планеты. Изменение потенциальной энергии dEp при перемещении тела на расстояние dr равно работе по перемещению тела на это расстояние А=Fdr, т.е.  dEp =Fdr, где F – сила гравитации на расстоянии r от центра Земли. Проинтегрируем это выражение от RA до ? чтобы получить полную потенциальную энергию тела:  . Окончательно равенство энергий выглядит так: mu22/2=GmMA/RA. А вторая космическая скорость будет равна:

Она используется для передвижения космических аппаратов к другим планетам.

Теперь определим, какая должна быть скорость, чтобы аппарат, запущенный с Земли покинул пределы Солнечной системы.   Средняя скорость Земли относительно Солнца ~29,8 км/с, это и есть первая космической скорости для Земли на расстоянии 150 млн км от Солнца. Для того, чтобы при запуске с такого расстояния от Солнца спутник навсегда покинул пределы Солнечной системы, ему надо сообщить вторую космическую скорость относительно Солнца равную 29,8O2=42.1 км/с.    Если бы тело не подвергалось воздействию земного притяжения, то ему достаточно было бы сообщить относительно Земли дополнительную скорость v = 42,1 – 29,8 = 12,3 км/с в направлении ее движения. Тогда относительно Солнца тело начнет двигаться по параболической траектории. В действительности для этого требуется большая скорость, так как тело дополнительно должно преодолеть воздействие земного притяжения. Учет этой поправки дает значение   v3= 16,7 км/с. Минимальная скорость, относительно Земли, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Величина третьей космической скорости зависит от того, в каком направлении корабль выходит из зоны действия земного тяготения. Она минимальна, если это направление совпадает с направлением орбитального движения Земли вокруг Солнца, и максимальна           v3= 72,8 км/с, когда эти направления противоположны.

Стационарные орбиты.

.

Пусть высота спутника h= 35942 км( a= h+ RA =35942+6373=42315), тогда Тс =24 ч, т.е. спутник будет делать один оборот вокруг Земли ровно за сутки, синхронно с вращением самой Земли. Если при этом плоскость орбиты у спутника совпадает с плоскостью экватора, то ИСЗ оказывается «висящим» над одной и той же точкой земной поверхности. Такой спутник называется геостационарным.

       Механическая система будет находиться в равновесии, если на неё не будет действовать сила. Это условие необходимое, но не достаточное, так как система может при этом находиться в равномерном и прямолинейном движении.  Здесь, даже при отсутствии силы, положение в точке  x₂  нельзя назвать устойчивым равновесием. По определению,  F_x = 0  – условие равновесия системы.         Учитывая формулы (5.3.7) имеем   .         Следовательно, система будет находиться в состоянии равновесия, если .  Именно так находят положение точек экстремума.        Возвращаясь к рисунку 5.7, заметим, что     при  x = x₁  и  x = x₂.       Точка  x = x₁  соответствует состоянию устойчивого равновесия (потенциальный барьер), тогда как точка  x = x₂  - состоянию неустойчивого равновесия (потенциальная яма).       Таким образом, достаточным условием равновесия является равенство минимуму значения U (это справедливо не только для механической системы, но, например, и для атома).