2.2 Работа газа при изменении его объема

Найдем работу, совершаемую газом при изменении его объема. Рассмотрим газ, находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде (рис. 17).Если газ, расширяясь, передвигает поршень на расстояние dx, то он производит работу против сил внешнего давления р_е: ,где S  площадь поршня, dV  изменение объема газа. Полная работа А₁₂, совершаемая газом при изменении его объема от V₁ до V₂: .Если процесс расширения газа является равновесным, т.е. идущим без перепадов давлений и температур, то работа может быть вычислена через давление самого газа (р_е=р). Графически работа газа равна площади под кривой процесса на диаграмме PV (рис.18). Если газ совершает круговой процесс (цикл), то работа будет равна площади цикла.

Работа газа при изопроцессах:

1) изохорическийV=const, dV=0, A₁₂=0;

2) изотермический T=const, ;

3) изобарический р=const,

2.3 ТеплоемкостьТеплоемкость тела или системы  скалярная физическая величина, характеризующая процесс теплообмена и равная количеству тела, полученному системой при изменении его температуры на один кельвин.

Теплоемкость можно отнести к одному молю или к единице массы вещества. Соответствующие теплоемкости называются молярной С_ или удельной с. Единицами измерения теплоемкостей являются: Дж/К (полная теплоемкость), Дж/(мольК) (молярная теплоемкость), Дж/(кгК) (удельная теплоемкость). Зная теплоемкости, можно

вычислить количество тепла, полученное системой:

Q=CT, Q=C_T, Q=cMT.Теплоемкость, как и количество тепла, зависит от вида теплового процесса. Различают теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме, если в процессе нагревания вещества поддерживаются постоянными соответственно давление и объем. Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю и сообщенная газу извне теплота идет на увеличение его внутренней энергии: .Используя первое начало термодинамики, можно показать, что молярная теплоемкость газа при постоянном объеме C_V и молярная теплоемкость газа при постоянном давлении C_P связаны соотношением .

Это соотношение называется уравнением Майера.При рассмотрении тепловых процессов важно знать характерное для каждого газа отношение C_P к C_V, которое называется показатель адиабаты или коэффициент Пуассона:

Из последних формул следует, что молярные теплоемкости не зависят от температуры в тех областях, где  = const.

2.4 Применение первого начала термодинамики к изопроцессамИзохорический процесс (V = const). Газ не совершает работу, т.е. A=0. Из первого начала термодинамики следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии:

.И зобарический процесс (p = const). Теплота, сообщаемая газу, идет на приращение внутренней энергии и на совершение работы над внешними телами: .Изотермический процесс (T = const). Внутренняя энергия газа не изменяется и все количество тепла, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил: .2.5 Адиабатический процессАдиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (Q = 0) между физической системой и окружающей средой. Близкими к адиабатическим являются все быстропротекающие процессы. Из первого начала термодинамики для адиабатического процесса следует, что , т.е. работа совершается за счет убыли внутренней энергии системы. Используя первое начало термодинамики, можно получить уравнения адиабатического процесса: ;

рисунок тепловой машины

.Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. Если газ расширяется от объема V₁ до V₂, то его температура падает от T₁ до T₂ и работа расширения идеального газа Это выражение для работы при адиабатическом процессе можно преобразовать к виду .

2.6 Обратимые и необратимые процессы. Коэффициент полезного действия теплового двигателяК обратимым процессам относятся процессы, после проведения которых в прямом и обратном направлениях в окружающих систему телах не остается никаких изменений. Для обратимых процессов характерно следующее: если в ходе прямого процесса система получила количество тепла Q и совершила работу А, то в ходе обратного процесса система отдает количество тепла Q^ = -Q и над ней совершается работа А^ = -А. К обратимым процессам относятся все равновесные процессы. В случае необратимого процесса, после возвращения системы в исходное состояние, в окружающих систему телах остаются изменения (изменяются положения тел и их температуры). Все реальные процессы в большей или меньшей степени необратимы.

В процессе преобразования тепла в работу используется тепловой двигатель, работающий по какому-либо круговому процессу (циклу). Коэффициент полезного действия такого двигателя (термический КПД) определяет долю тепла, превращаемую в работу: ,где А  работа, совершенная двигателем за цикл, Q₁  количество тепла, полученного двигателем, Q^₂  количество тепла, отданного двигателем в окружающую среду. Работу теплового двигателя можно представить на диаграмме состояний в виде некоторого теплового кругового процесса (рис.19). Общая работа А определяется площадью цикла 1а2в1. Если за цикл совершается А>0, то цикл называется прямым, и если А<0, – обратным.

Прямой цикл используется в тепловом двигателе, совершающем работу за счет получения извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой (рис. 20).

Важной задачей термодинамики является изучение процессов преобразования тепла в работу и установления возможных границ повышения термического КПД.

Р

1

а

2

б

V

V₁

V₂

Рис. 19

2.7 Второе начало термодинамикиАнализ выражения для КПД показывает, что максимальный КПД, равный единице, возможен, если двигатель все получаемое количество тепла будет преобразовывать в работу. Все опытные факты свидетельствуют о невозможности создания такого двигателя (вечный двигатель второго рода), и это было сформулировано в виде второго начала термодинамики.

«Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара».

Вильям Томсон (лорд Кельвин).

«Теплота не может самопроизвольно переходить от тела менее нагретого к телу более нагретому».

Рудольф Клаузиус.

Второе начало термодинамики не только установило границы преобразования тепла в работу, но и позволило построить рациональную шкалу температур (термодинамическая шкала температур) и установить направление процессов, происходящих в теплоизолированных системах.

2.8 Цикл Карно и теорема КарноВ 1824 г. С. Карно предложил и исследовал идеальный тепловой цикл, названный в последствии циклом Карно. Этот цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис. 21). Карно также сформулировал две теоремы, определяющие максимальное значение КПД теплового двигателя.

«Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур Т₁ и Т₂ нагревателя и холодильника, но не зависит от устройства машины, а также от вида используемого рабочего вещества».

«Коэффициент полезного действия всякой тепловой машины не может превосходить коэффициента полезного действия идеальной машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами нагревателя и холодильника».

Рис. 21

12, 34, – изотермические расширение и сжатие,

23, 41– адиабатические расширение и сжатие.

В процессе 12 , поэтому

Q₁ = .

В процессе 34 U = const, поэтому .

Используя уравнения для адиабатического процесса можно показать, что . Тогда .

2.9 Термодинамическое неравенство Клаузиуса. ЭнтропияРассматривая процессы превращения тепла в работу, Р. Клаузиус сформулировал термодинамическое неравенство (неравенство Клаузиуса): «Приведенное количество тепла, полученное системой в ходе произвольного кругового процесса, не может быть больше нуля». где Q – количество тепла, полученное системой при температуре Т, Q₁  количество тепла, получаемое системой от участков окружающей среды с температурой Т₁, Q^₂ – количество тепла, отдаваемое системой участкам окружающей сре

ды при температуре Т₂. Неравенство Клаузиуса позволяет установить верхний предел термического КПД при переменных температурах нагревателя и холодильника. ,где Т_{1 макс} – максимальная температура участка среды, от которого система получает тепло; Т_{2 мин} – минимальная температура участка среды, которому система отдает тепло.Из выражения для обратимого цикла Карно следует, что или , т.е. для обратимого цикла неравенство Клаузиуса переходит в равенство. Это означает, что приведенное количество тепла, полученное системой в ходе обратимого процесса, не зависит от вида процесса, а определяется только начальным и конечным состояниями системы. Поэтому приведенное количество тепла, полученное системой в ходе обратимого процесса, служит мерой изменения функции состояния системы, называемой энтропией.

Энтропия системы – функция ее состояния, определенная с точностью до произвольной постоянной. Приращение энтропии равно приведенному количеству тепла, которое нужно сообщить системе, чтобы перевести ее из начального состояния в конечное по любому обратимому процессу. , .Важной особенностью энтропии является ее возрастание в изолированных системах (закон возрастания энтропии): «Энтропия теплоизолированной (адиабатической) системы не может убывать; она возрастает, если в системе идет необратимый процесс, и остается постоянной при обратимом процессе в системе».

Необратимые процессы в системе приводят к установлению равновесного состояния. В этом состоянии энтропия изолированной системы достигает максимума и в дальнейшем никакие макроскопические процессы в системе невозможны.

Изменение энтропии при наличии теплообмена с окружающей средой, может быть каким угодно: как больше нуля, так и меньше нуля.

Получим выражение для приращения энтропии идеального газа при переходе из состояния с параметрами T₁, V₁ в состояние с параметрами T₂, V₂: .

Из выражения для приращения энтропии газа следует, что энтропия является функцией двух параметров  температуры и объема S=S(T,V).Введение энтропии позволяет объединить первое и второе начала термодинамики в виде термодинамического неравенства ,где знак равенства относится к обратимым процессам, знак неравенства  к необратимым. Энтропия, как и внутренняя энергия, связана с микроскопическим строением системы и статистическим характером теплового движения частиц системы.

2.10 Фазовое пространство. Микро- и макросостояния системыСтатистический анализ поведения системы свидетельствует о том, что вероятность состояния и энтропия ведут себя схожим образом, а именно: при переходе системы к равновесному состоянию и энтропия, и вероятность возрастают. Для установления точного соотношения между ними необходимо ввести статистическое описание системы с микроскопической и макроскопической точек зрения. Это возможно путем введения фазового пространства, в котором движутся частицы системы. Фазовое пространство – шестимерное пространство, по осям которого откладываются значения координат и проекций импульсов частиц (x, y, z, p_x, p_y, p_z). Учитывая, что динамические переменные изменяются непрерывно, вести описание состояний с указанием точных значений координат и импульсов для каждой частицы невозможно. Поэтому все фазовое пространство разбивается на фазовые ячейки объемом V=xyzp_xp_yp_z. Теперь состояние каждой частицы может быть определено указанием того, в какой фазовой ячейке она находится. Состояние системы, заданное указанием того, какие частицы находятся в каждой фазовой ячейке, называется микросостоянием системы.С макроскопической точки зрения состояние системы зависит от того, сколько частиц имеют то или иное значение энергии или сколько частиц находится вблизи данной точки системы, но не какие именно это частицы. Поэтому состояние системы, заданное указанием того, сколько частиц находится в каждой фазовой ячейке, называется макросостоянием системы.При подобном описании состояния системы перемещения частиц в пределах фазовой ячейки не изменяют ни микро- ни макросостояние. Переходы частиц из одной ячейки в другую при неизменном их числе в каждой фазовой ячейке изменяют микросостояние, но оставляют прежнее макросостояние. Таким образом, одно и то же макроскопическое состояние может быть реализовано при самых различных микросостояниях. Это приводит к тому, что вероятность возникновения того или иного макросостояния системы зависит от числа микросостояний, реализующих данное макросостояние.

2.11 Статистический вес (термодинамическая вероятность) макросостояния и его связь с энтропиейКоличество различных микросостояний, реализующих данное макросостояние системы, называется статистическим весом или термодинамической вероятностью макросостояния.

Все микросостояния системы равновероятны, а вероятность (математическая) макросостояния определяется ее статистическим весом. Анализ значений статистических весов различных макросостояний показывает, что в равновесном состоянии статистический вес максимален. Это означает, что все макроскопические процессы обладают односторонней направленностью. Переход между двумя макроскопическими состояниями возможен только в том случае, если конечное состояние является более вероятным, чем начальное. В этом заключается механизм необратимости тепловых процессов, которая проявляется в стремлении всех макроскопических тел перейти в равновесное состояние. С другой стороны, статистика не исключает самопроизвольных переходов в неравновесные состояния, просто эти переходы маловероятны (статистические флуктуации).

Получим выражение для статистического веса макросостояния. Пусть в системе имеется N частиц, а все фазовое пространство (область возможных значений координат и импульсов) разбито на m ячеек. Рассчитаем статистический вес состояния, при котором: в 1^ой ячейке находится N₁ частиц; во 2^ой ячейке – N₂ частиц и т.д.; в m^ой ячейке  N_m частиц. Для этого достаточно рассчитать число возможных перестановок частиц между ячейкам (они не изменяют числа частиц в ячейках). Это можно сделать, если из общего числа перестановок N частиц N! исключить перестановки в пределах каждой ячейки N_i! (они ничего не изменяют). .

Если в системе создать искусственно неравновесное состояние, то в подавляющем большинстве случаев система самопроизвольно будет переходить в состояние с большей вероятностью. С другой стороны, согласно термодинамике, все самопроизвольные процессы в замкнутой системе сопровождаются возрастанием энтропии. Поэтому следует ожидать, что между энтропией системы S в каждом состоянии и вероятностью  того же состояния должна существовать однозначная связь. Эта связь была установлена Больцманом (формула Больцмана): ,где k – постоянная Больцмана.

Последнее соотношение можно рассматривать как определение энтропии. При таком понимании энтропии закон ее возрастания утрачивает свою абсолютность и становится статистическим законом. Энтропия замкнутой системы может не только возрастать, но и убывать. Это можно трактовать следующим образом: если система находится в неравновесном состоянии, то переход ее в более вероятное состояние будет происходить в подавляющем большинстве случаев, переходы же в менее вероятные состояния (с меньшей энтропией) настолько маловероятные, что практически не имеют никакого значения. Тогда закон возрастания энтропии оправдывается на практике с абсолютной достоверностью.

колебания Всякое колебательное движение, в том числе и гармоническое, характеризуется амплитудой  , периодом колебаний  , частотой  , циклической (круговой) частотой   и фазой колебаний  . Амплитудой   называют наибольшее значение колеблющейся величины. Число полных колебаний в единицу времени называют частотой:  .Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении   с:  .Периодом называю время, в течении которого совершается одно полное колебание: .Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями , , .Здесь   - фаза колебаний, а   - начальная фаза. Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещнию: где   - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение  , равное единице. При отсутствии сопротивления среды циклическая частота   свободных гармонических колебаний, называемых собственной циклической частотой и период   равны: ,  Период колебания математического маятника длиной   равен . Период колебаний физического маятника ,где   - момент инерции маятника относительно оси качаний,   - расстояние от оси его до центра тяжести. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна . Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления  пропорциональной скорости ( , где   - коэффициент сопротивления) имеет вид: .Здесь   - убывающая по времени амплитуда смещения;   - коэффициент затухания;   - циклическая частота;   - начальные амплитуда и фаза, определяются из начальных условий.Величины   и   выражаются через параметры системы   формулами: , .Логарифмический декремент затухания ,где   - амплитуды двух последовательных колебаний.Амплитуда вынужденных колебаний , где   - есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела;   - собственная циклическая частота;   - циклическая частота вынуждающей силы.Резонансная циклическая частота равна .

Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний. Свободными, или собственными колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Простейший вид колебаний – гармоническими,.. при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид: , где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия);   - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса   - называется фазой колебаний. Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постояннаяφ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний. Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний. Период гармонических колебаний равен: T = 2π/ . Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.Круговая частота   = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью  , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:
. 
Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.

сложение

П ри сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, результирующее смещение будет суммой ( ) смещений   и  , которые запишутся следующими выражениями: ,  ,Сумма двух гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием той же круговой частоты:   =   .Значения амплитуды А и начальной фазы φ этого гармонического колебания будет зависеть от амплитуд исходных колебаний и их начальых фаз

На рисунке 1.2. приведено два примера А и В сложения гармонических колебаний с использованием метода векторных диаграмм. Из векторных диаграмм видно, что направление (начальная фаза φ) и длина А вектора амплитуды суммарного гармонического колебания зависит, как от направления (от начальных фаз), так и от длины векторов амплитуд исходных гармонических колебаний.  разность фаз: Δφ = φ1 - φ2,угол между векторами А1 и А2 равен 0, то исходные колебания находятся в фазе и суммарная амплитуда (А =А1 +А2) будет максимальна. противофазаА1-А2

Биения

Б иения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса

За счет того, что вращение векторов А1 и А2 происходит с близкими, но отличающимися скоростями, разность фаз этих двух колебаний будет не постоянна, а медленно, то увеличиваться, то уменьшаться. Колебания будут находиться, то в фазе, то в противофазе, в результате амплитуда суммарного сигнала тоже будет меняться. Время за которое разность фаз измениться на 2π и будет периодом биений Тб (Тб = 2π/Δω). Δω -разность круговых частот исходных колебаний.Биения применяют при обнаружении металлических предметов мин, оружия

Модуляции

При сложении существенно отличающихся по частоте гармонических колебаний говорят о модуляции. В радиосвязи модуляция используется для передачи звукового сигнала. Для этого в передатчике на высокочастотный сигнал накладывается низкочастотный звуковой сигнал. Принимаемая в приемнике высокочастотная составляющая фильтруется, а низкочастотный сигнал подается на динамик для воспроизведения звука.

ФурьеПреобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

упругие колебания

механические колебания -тело способно совершать колебания, если оно имеет массу и упругость.

классифицировать колебательных процессов по внешним признакам- кинематическая.классы колебат процессов

• Периодическим - процесс, при котором колеблющаяся величина, в момент t, через период имеет то же значение(функция   называется периодической с периодом  , если существует такая постоянная величина  , для которой

при любом значении переменной  .

• Непериодическими функциями называются все остальные функции, не удовлетворяющие указанному условию.

• Почти периодическая функция определяется условием _{, x-любое, cospt,e=const}

1. гармонические( синусоидальныеколебания(, при которых изменение физической величины со временем происходит по синусоиде (или косинусоиде).

2.затухающие (или нарастающие) синусоидальные движения. ,A,фи,дельта=const,x-время

• п оложение системы может быть определено только одной величиной. Такие системы называются системами с одной степенью свободы.

Рассмотрим простейший случай, изображенный на рис. 15.2.

Если устройство таково, что возможны только вертикальные перемещения груза  , и если масса пружины мала по сравнению с величиной массы груза  , то систему можно рассматривать как имеющую одну степень свободы. Положение такой колебательной системы может быть определено одним параметром — вертикальным перемещением груза.

• Системой с двумя или несколькими степенями свободы назовем такую систему, положение которой в произвольный момент времени может быть охарактеризовано двумя или несколькими независимыми параметрами. Двумя степенями свободы, например, обладает невесомая балка, несущая две массы (рис. 15.3,  ). В качестве независимых параметров могут быть приняты перемещения масс   и   по отношению к положению равновесия.

• собственные, вынужденные, параметрические и автоколебания.

дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний

 возвращающая сила F = -kx. , или .. ,

Собственными называются колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия после первоначального возмущения под действием только внутренних сил.

а = - w²·х, llзн ньютонаF = m·a = - m·w²·х = - k·x ,где k - постоянная величина.(рисунок пружинки растянутой и нет)

Уравнение динамики собственных колебаний.

 Рассмотрим колебания груза на пружине. При х = 0 пружина не деформирована, F_тр = 0. F = - k·x, m·a = - k·x

2едифф уре x'' + w₀²·x = 0 x = A·cos(w₀·t + ₀). 

гармонич колеб a = - w₀²·x x = A·cos(w₀·t + ₀), где w₀ = (k/m)^1/2 - собственная частота колебаний.

Расчет параметров собственных колебаний. Амплитуда A и начальная фаза ₀ -   параметры колебаний, не зависят от свойств системы, а определяются только начальными условиями, т.е. значением смещения и скорости в начальный момент времени:x(0) = x₀; (0) = ₀.Задав x₀ и ₀, получим два уравнения для расчета амплитуды и начальной фазы:x₀ = A·sin ₀;₀ = A·w₀·cos _0;A = (x₀² + ₀²/w₀²)^1/2;tg ₀ = x₀·w₀/₀.

1. собственные колебания:

Крутильные колебания (  - угловая координата, I - момент инерции, K - модуль кручения) I· = - K· или'' = - K·/I(t) = _max·sin((K/I)^1/2·t + ₀).

Физический маятник - система, способная совершать колебания около положения равновесия, при этом массу системы нельзя считать сосредоточенной в одной точке. O - точка вращения; С - положение центра масс маятника; l - его длина;  - угол отклонения от положения равновесия. Уравнение динамики вращательного движения для физического маятника в проекции на ось вращения в случае его малых колебаний запишем в виде:M_z = ·'' = - m·g·l·sin = - m·g·l·.Решение этого уравнения имеет следующий вид:(t) = _max·sin(w₀·t + ₀),где w₀ = (m·g·l/I)^1/2.Для математического маятника момент инерции и значение собственной частоты колебаний будут равны: I = m·l² и  w₀ = (g/l)^1/2.Собственную частоту физического маятника можно представить в виде, аналогичном выражению для математического маятника:w₀ = (g/l_прив)^1/2, где l_прив = I/(m·l) - приведенная длина маятника.

Будем считать, что внешняя сила действует на линейный гармонический осциллятор по следующему закону:F = F₀·cos(·t).

и квазиупругая сила и сила трения. llзн ньютонаm·x'' + h·x' + k·x = F₀· cos(·t) илиx'' + 2··x' + w₀²·x = F₀· cos(·t)/m.

2. вынужденные колебания.

Уравнение - линейное неоднородное дифференциальное уравнение II порядка(есть t). Решение неоднородного уравнения x(t) представляет сумму общего решения однородного уравнения x₁(t) и частного решения неоднородного уравненияx₂(t), т.е. x(t) = x₁(t) + x₂(t). из тригонометрии:х₂(t) = A·cos(·t + ),где A и  - постоянные величины, представляющие собой амплитуду и сдвиг фаз между смещением и внешней силой.Таким образом, общее решение будут иметь вид:x(t) = A₀·e^-·t·sin(w·t + _) + A·cos(·t + )

В течение времени осциллятор совершает негармоническое движение(результат двух типов колебания)Но через промежуток времени t ~ 1/ амплитуда и энергия собственных колебаний уменьшатся до нуля и они прекратятся. При этом второе слагаемое останется неизменным и результирующее колебание будет гармоническим .

3. Переходной и установившийся режимы колебаний. Колебания, которые будут совершаться после затухания собственных колебаний, называются установившимися вынужденными колебаниями. Процесс установления этих колебаний называется переходным режимом .Установившиеся колебания не зависят от начальных условий и описываются уравнением: х = A·cos(·t + ). Частота вынужденных колебаний  равна частоте вынуждающей силы, а амплитуда A и сдвиг фаз 0смещения относительно внешней силы зависят от значений собственной частоты колебаний w₀, частоты вынуждающей силы  и коэффициента затухания  

4. Параметры вынужденных колебаний. Найдем величины А и . A = (F₀/m)/((w_^ - ^)² + 4²·²)^1/2.Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и существенно зависит от соотношения между частотой вынуждающей силы и собственной частотой.Величину сдвига фаз между смещением и вынуждающей силой будет равна:tg 0= - 2·/(w_^ - ^). смещение отстает по фазе от вынуждающей силы.

5. Амплитудная резонансная кривая. Резонанс. Построим зависимостьА(), график которой называется амплитудной резонансной кривой. Вид этой кривой зависит от величины коэффициента затухания ( Амплитуда, соответствующая значению частоты  = 0, называется статическим смещением. Т.к. F₀ = k·A_ст, тоА_ст = F₀/(m·w₀²) = F₀/k(график кривая, маленький период очень острых переломы)Из графика видно, что при определенном значении частоты вынуждающей силы амплитуда осциллятора становится максимальной.Явление, при котором  амплитуда колебаний системы достигает максимального значения, характерного для некоторого значении частоты вынуждающей силы называется резонансом. Частота вынуждающей силы, при которой наступает данное явление, называется резонансной. Приравнивая к нулю производную по частоте выражения и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим формулы для расчета резонансной частоты _рез и амплитуды А_рез:_рез = (_² - 2²)^1/2;А_рез = F₀/(2m··w₀)При значении  = 0 амплитуда колебаний в резонансе стремится к бесконечности. Важной характеристикой осциллятора является отношение амплитуды его колебаний в резонансе к ее статическому значениюиз предыд формул что это отношение равно добротности системы:А_рез/А_ст = /d = Q,где d - логарифмический декремент затухания.Добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы.Рассмотрим чему равен сдвиг фаз между смещением и силой при резонансе. Допустим, что при  = ₀ сила и смещение подчиняются следующим законам:F = F₀·cos(₀·t); x = A·sin(₀·t).Тогда уравнение для скорости колеблющейся частицы (осциллятора) имеет вид:x' =  = - A··cos(₀·t).Что скорость и сила колеблются в фазе. Следовательно, мощность, сообщаемая осциллятору внешней силой, равна N = F· Ее значение положительно в любой момент времени, следовательно, работа внешней силы достигает своего максимального значения. Энергия, передаваемая осциллятору внешней силой, в этом случае направлена на преодоление сил трения.

упругие волны

Упру́гие во́лны (звуковые волны) — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил. В зависимоот частоты различают инфразвуковые, звуковые и ультразвуковые упругие волны, сейсмические

в жидкостях и газах – продольные, в твёрдых телах :прод,попер,лява,рэлея

применение :медицина(узи),камертон, орган

Монохроматическая волна — модель в физике, удобная для теоретического описания явлений волновой природы, означающая, что в спектр волны входит всего одна составляющая по частоте.

(волна с очень узким спектром. Чем уже интервал, в котором находятся частоты реальной волны, тем «монохроматичнее» излучение.)

• строго гармоническая (синусоидальная) волна с постоянными во времни частотой, амплитудой и начальной фазой.