1.4 Статистические распределения
При тепловом движении положения частиц, величина и направление их скоростей изменяются случайным образом. Вследствие гигантского числа частиц случайный характер их движения, проявляется в существовании определенных статистических закономерностей в распределении частиц системы по координатам, значениям скоростей и т.д. Подобные распределения характеризуются соответствующими функциями распределения. Функция распределения (плотность вероятности) характеризует распределения частиц по соответствующей переменной (координаты, величины скоростей и т.д). В основе классической статистики лежат следующие положения:
- все частицы классической системы различимы (т.е. их можно пронумеровать и следить за каждой частицей);
- все динамические переменные, характеризующие состояние частицы, изменяются непрерывно;
- в заданном состоянии может находиться неограниченное число частиц.1.4.1 Распределение Максвелла
В состоянии теплового равновесия как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при Т=cоnst, остается постоянной и равной
.
Это объясняется тем, что в газе
устанавливается некоторое стационарное
статистическое распределение молекул
по значениям скоростей, называемое
распределением Максвелла. Распределение
Максвелла описывается некоторой
функцией f(),
называемой
функцией распределения молекул по
скоростям.
,где
N
– общее число молекул, dN()
– число молекул, скорости которых
принадлежат интервалу скоростей от
до
+ d.
Таким образом, функция Максвелла f() равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей вблизи значения . Или она равна доле молекул, скорости которых принадлежат единичному интервалу скоростей вблизи значения .
Явный вид функции f() был получен теоретически Максвеллом:
.
График
функции распределения приведен на рис.
12. Из графика следует, что функция
распределения стремится к нулю при 0
и
и проходит через максимум при некоторой
скорости В,
называемой наиболее
вероятной скоростью.
Этой скоростью и близкой к ней обладает
наибольшее число молекул. Кривая
несимметрична относительно В.
Значение наиболее вероятной скорости
можно найти, используя условие для
максимума функции f().
.На
рис. 13 показано смещение В
с изменением температуры, при этом
площадь под графиком остается постоянной
и равной 1, что следует из условия
нормировки
функции Максвелла
.Условие
нормировки следует из смысла данного
интеграла – он определяет вероятность
того, что скорость молекулы попадает
в интервал скоростей от 0 до .
Это достоверное событие, его вероятность,
по определению, принимается равной 1.
Знание
функции распределения молекул газа по
скоростям позволяет вычислять средние
значения любых функций скорости, в
частности средней
арифметической скорости
<>.
.
Рис.12,13 По функции Максвелла можно определить долю молекул, скорости которых принадлежат заданному интервалу скоростей или превышают некоторое значение скорости, например вторую космическую, что определяет рассеяние атмосферы.
.