15. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием или средним значением, М(Х) ДСВ Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности :

Математическое ожидание также называют центром распределения СВ.

Свойства математического ожидания.

1. .

2. .

3. .

4. для независимых СВ.

5. .

6. .

Насколько значения СВ отклоняются от своего математического ожидание?

Дисперсией D(X) СВ Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

или , где .

Если СВ Х дискретная, то .

Свойства дисперсии СВ.

1. .

2. .

3. или , где а=М(Х).

4. .

5. .

Средним квадратическим отклонением σ_x СВ Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

.

16. Числовые характеристики дискретной случайной величины: начальные и центральные моменты k-го порядка случайной величины х, коэффициенты асимметрии и эксцесса, медиана, мода.

Начальным моментом k-го порядка СВ Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

Центральным моментом k-го порядка СВ Х называется математическое ожидание k-й степени отклонения СВ от ее математического ожидания:

или .Заметим, что: при k = 1 – ,

при k=2 – .

выражаются через по следующей формуле:

В частности, , , , .

Таким образом, М(Х)= – характеризует среднее значение (положение) X;

D(Х)=₂ – характеризует степень рассеяния X относительно М(Х).

Величина ₃ служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения CВ.

Коэффициентом асимметрии СВ называется величина: .

Если распределение симметрично относительно М(Х) –А=0.

Если А<0 – левосторонняя (отрицательная) асимметрия.

Если А>0 – правосторонняя (положительная) асимметрия.

Величина ₄ служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом СВ называется величина

Кривые, более островершинные, чем нормальная кривая, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.

Модой Мо(Х) СВ Х называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой Ме(Х) НСВ Х называется такое ее значение, для которого выполняется равенство:

,

Замечание. Для симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

17. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Математическим ожиданием НСВ Х называется выражение вида:

Формула для вычисления дисперсии имеет вид:

Среднее квадратическое отклонение .

Если все возможные значения СВ заключены в интервале [a,b], то и и несобственный интеграл

Все свойства и для ДСВ справедливы и для НСВ.

В частности, или .