12. Функция распределения случайной величины. Построение функции распределения и ее свойства.

Функцией распределения СВ Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х:

F(х)=Р(Х<х).

Второе название функции F(х) – интегральная функция распределения.

Геометрически – это вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки х.

Для ДСВ Х: .

Функция распределения любой ДСВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, в которых СВ принимает конкретное значение и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.

Свойства функции распределения.

1. .

2.F(x)–неубывающая функция на всей числовой оси: х₂х₁, то F(х₂)F(х₁).

3.Вероятность попадания СВ в интервал :

4.Если возможные значения СВ Х распределены на всей числовой оси, тогда и

5.

6.Если возможные значения СВ принадлежат интервалу [a,b], то

13. Понятие дискретной одномерной случайной величины. Закон распределения дискретной одномерной случайной величины и формы его задания. Функция распределения дискретной случайной величины F(x) и ее график.

СВ называется дискретной (ДСВ), если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Законом распределения СВ – соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Ряд распределения может быть изображен графически.

Полигоном распределения вероятностей.

Простейшая форма задания закона распределения ДСВ Х – таблица.

х1	x2	…	xi	...	хп
р1	р2	…	рi	…	рп

Такая таблица называется рядом распределения ДСВ.

События Х= х₁, …, Х= х_п образуют полную группу. Следовательно,

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е. . Функция распределения д. с. в. строится по ряду распределения.

Построим график функции распределения д.с.в.

Функция распределения дискретной случайной величины - это ступенчатая разрывная функция.

Свойства функции распределения.

1. Функция распределения случайной величины есть не отрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице т. е. , .

4.Вероятность попадания случайной величины в интервал равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т. е. .

14. Понятие непрерывной случайной величины. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Плотность вероятности распределения f(x) непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.

СВ Х называется непрерывной (НСВ), если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения НСВ равна нулю.

Следствие. Если Х — НСВ, то вероятность попадания СВ в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

Плотностью вероятности (плотностью распределения) f(х) НСВ Х называется производная ее функции распределения

Плотность вероятности f(х), как и F(х), является одной из форм закона распределения, но только для НСВ.

Плотность вероятности называют дифференциальной функцией.

Свойства плотности вероятности НСВ.:

1. .

2. Вероятность попадания НСВ в интервал

.Если f(х) – четная, то

3. НСВ выражается через плотность вероятности .

4. .

Г еометрически – кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.