9. Редкие события. Формула Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции f(X).

Теорема Пуассона. Если вероятность наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р→0), при n→∞, причем np→µ, то вероятность того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству: lim P_n (m) = P_m (µ) = , где число µ - среднее число появлений события в n испытаниях.

Если: 1)вероятность р постоянна и мала(р≤0,1)

2)число испытаний n велико (n≥100)

3) число µ=np – незначительно (µ=np<10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона P_n (m) = = P_m (µ)

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и 0<Р<1, то вероятность того что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n приближенно равна:

P_n (m)= , где f(x) = - функция Гаусса , х =

Эта приближенная формула называется локальная формула Муавра-Лапласа. Погрешность незначительна при npq≥20. Свойства функции f(x):

1)функция f(x) является четной, т.е f(-x) = f(x)

2)f(x)- монотонно убывающая при положительном х; при х стремящемся к нулю функция тоже стремится к нулю.

10. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа f(X) и ее свойства. Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа .Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и 0<p<1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от m1 до m2.

Pn (m1 ≤m ≤m2)= [ ф(х2) – ф(х1)] , где Ф(х) = - функция Лапласа,

Свойства функции Ф(х): 1) функция нечетная, т.е Ф(-х) = - Ф(х); 2) функция Ф(х) монотонно возрастающая.

Следствия: Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и 0<p<1, то при большом числе n независимых испытаний: А) вероятность того, что абсолютная величина отклонения числа m наступления события А от среднего числа появления события np не более, чем на величину ξ >0 приближенно равна функции Лапласа. При х = , т.е. Рn( |m-np|≤ξ)=ф (

Б)вероятность того, что частость события А заключена в пределах от α доβ включительно приблизительно равна . Pn (α ≤ ≤β)= [ ф(z2) – ф(z1)], где z1 = , z2 =

В) вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты события А от его вероятности р не более, ,чем на величину ξ >0 приближенно равна функции Лапласа. При х =ξ , т.е.

Рn( | - p|≤ξ)=ф (

11. Понятие случайной величины и закона ее распределения. Понятие независимости случайных величин. Действия над случайными величинами.

Под случайной величиной (СВ) понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее не известно).

Случайной величиной Х называется числовая функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω:

Х=f(ω), где ω –элементарное событие, принадлежащее пространству Ω.

Таким образом, СВ Х каждому элементарному событию ставит в соответствие действительное число.

СВ называется дискретной (ДСВ), если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

СВ называется непрерывной (НСВ), если множество ее значений есть некоторый интервал числовой оси (конечный или бесконечный).

СВ обозначаются прописными буквами X, Y, Z,.., а их возможные значения – строчными буквами х, у, z,...

Законом распределения СВ – соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Две СВ называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая СВ. В противном случае СВ называются зависимыми.

Х:

xi	х1	x2	...	хп
рi	р1	р2	…	рп

У:

уj	y1	y2	...	ym
рj	р1	р2	…	рm

Произведением СВ Х на величину k называется СВ kХ, которая принимает значения kх_i с теми же вероятностями р_i (i=1,2,...,n).

kxi	kх1	kx2	...	kхп
рi	р1	р2	…	рп

kX:

Квадратом или m-й степенью СВ X называется СВ Х² или Х^m, которая принимает значения или с теми же вероятностями р_i (i=1,2,...,n).

xim	х1m	x2m	...	хпm
рi	р1	р2	…	рп

X^m:

Суммой (разностью или произведением) СВ Х и Y называется СВ, которая принимает все возможные значения вида x_i+у_j (x_i–у_j или x_i у_j, где i=1,2, …,п; j=1,2,…,m), с вероятностями р_ij того, что СВ X примет значение х_i а Y – значение у_j.

Если СВ Х и Y независимы, т.е. независимы любые события Х=x_i, Y= у_j, то