Экзаменационный билет №___23____

1. ПОДХОДЫ К РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. ЭТАПЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. ЧТО ПОНИМАЕТСЯ ПОД ПОНЯТИЯМИ: СХОДИМОСТЬ МЕТОДА, КОРРЕКТНОСТЬ МЕТОДА, УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДА

Существуют различные подходы к реализации численных методов. Тради­ционный подход предполагает построение алгоритма метода с последующим программированием на языке высокого уровня. В последнее время широко ис­пользуются специализированные программные продукты - математические па­кеты типа MathCad, которые существенно упрощают процесс составления ал­горитма и обладают встроенными библиотеками и графическими возможно­стями.

37. Этапы реализации численных методов

Вычислительная техника нашла эффективное применение при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях. Действительно, современные компьютеры за одну секунду выполняют такой объем вычислений, на который человеку не хватит всей жизни.

При решении задачи на компьютере основная роль все-таки принадлежит человеку Машина лишь выполняет его задания по разработанной программе. Роль человека и машины легко уяснить, если процесс решения задачи разбить на следующие этапы.

• Постановка задачи. Этот этап заключается в содержательной (физической) постановке задачи и определении конечных целей решения.

• Построение математической модели (математическая формулировка задачи). Модель должна правильно (адекватно) описывать основные законы физического процесса. Построение или выбор математи­ческой модели из существующих требует глубокого понимания проблемы и знания соответствующих разделов математики.

• Разработка численного метода. Поскольку компьютер может выполнять лишь простейшие операции, он «не понимает» постанов­ки задачи даже в математической формулировке. Для ее решения должен быть найден численный метод, позволяющий свести задачу к некоторому вычислительному алгоритму. Разработкой численных методов занимаются специалисты в области вычислительной математики. Специалисту прикладнику для решения задачи, как правило, необходимо из имеющегося арсенала методов выбрать тот, который наиболее пригоден в данном кон­кретном случае.

• Разработка алгоритма. Процесс решения задачи (вычислительный процесс) записывается в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций, приводящей к конечному резуль­тату и называемой алгоритмом решения задачи. Алгоритм можно наглядно изобразить в виде блок-схемы, структурограммы и т. п. Опытный вычислитель зачастую может и не прибегать к такому наглядному представлению алгоритма, непосредственно переходя к следующему этапу.

• Программирование. Алгоритм решения задачи записывается на понятном машине языке в виде точно определенной последовательности

Виды погрешностей численных методов

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения. определяется формулой

­­

где а – приближение к точному значению А.

Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа.

Таким образом, если — приближенное значение числа х, то выражения для абсолютной и относительной погрешностей запишутся соответственно в виде:

К сожалению, истинное значение величины х обычно неизвестно. Поэтому приведенные выражения для погрешностей практически не могут быть использованы. Имеется лишь приближенное значение а, и нужно найти его предельную погрешность , являющуюся верхней оценкой модуля абсолютной погрешности,

т. е.:

В дальнейшем значение Δa принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа а. В этом случае истинное значение х находится в интервале 

Рассмотрим погрешности исходных данных. Поскольку это так называемые неустранимые погрешности и вычислитель не может с ними бороться, то нужно хотя бы иметь представление об их влиянии на точность окончательных результатов. Некоторые задачи весьма чувствительны к неточностям в исходных данных. Эта чувствительность характеризуется так называемой устойчивостью.

Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины находится значение искомой величины . Если исходная величина имеет абсолютную погрешность, то решение имеет погрешность . Задача называется устойчивой по исходному параметру , если решение непрерывно от него зависит, т. е. малое приращение исходной величины приводит к малому приращению искомой величины .

Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату. О подобных неустойчивых задачах также говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.

Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

Если задача поставлена некорректно, то применять для ее решения численные методы, как правило, нецелесообразно, поскольку возникающие в расчетах погрешности округлений будут сильно возрастать в ходе вычислений, что приведет к значительному искажению результатов.

Иногда при решении корректно поставленной задачи может оказаться неустойчивым метод ее решения. Численный метод называется корректным в случае существования и единственности численного решения при любых значениях исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно погрешностей исходных данных.

При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Она означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению. Строгие определения разных оценок близости могут быть даны лишь с привлечением аппарата функционального анализа.

2. Перевести 10101001,10111₂ в шестнадцатеричную . Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,0010101₂