Экзаменационный билет №___18____

1. ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА. СВОЙСТВА АЛГОРИТМОВ. ФОРМЫ ЗАПИСИ АЛГОРИТМОВ. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ АЛГОРИТМОВ, ОТ ЧЕГО ОНА ЗАВИСИТ. РЕКУРСИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ.

Алгоритм — точный набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное время.

Свойства:

• Дискретность — алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательное выполнение некоторых простых шагов. При этом для выполнения каждого шага алгоритма требуется конечный отрезок времени, то есть преобразование исходных данных в результат осуществляется во времени дискретно.

• Детерминированность — определённость. В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы. Таким образом, алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных

• Понятность — алгоритм для исполнителя должен включать только те команды, которые ему (исполнителю) доступны, которые входят в его систему команд.

• Завершаемость (конечность) — при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов. С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.

• Массовость — универсальность. Алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.

• Результативность — завершение алгоритма определёнными результатами.

• Эффективность. От алгоритма требуется, чтобы он был эффективным. Это означает, что все операции, которые необходимо произвести в алгоритме, должны быть достаточно простыми, чтобы их в принципе можно было выполнить точно и за наименьшее время.

Формы записи алгоритмов:

• на естественном языке

• в виде схемы (блок-схемы)

Сложность или производительность алгоритма – это величина, отражающая порядок величины требуемого ресурса (времени или дополнительной памяти) в зависимости от размерности задачи.

Производительность алгоритма зависит:

1. От машины, на которой выполняется алгоритм

2. От количества входных и выходных данных

3. От самих данных (алгоритм выполняется быстрее, когда введены отсортированные данные)

4. От количества элементов

5. От количества итераций рекурсии (итерация - одно из ряда повторений какой-либо операции, использующее результат предыдущей аналогичной операции ( для рекурсивных алгоритмов))

Рекурсия - это такая организация алгоритма, при которой процедура обращается к самой себе. Сама процедура называется рекурсивной.

2. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в коробке?

Экзаменационный билет №___19____

1. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ РЕАЛЬНОГО МИРА. ПОДХОДЫ К РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. ЭТАПЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

1) Классификация моделей по области использования:

Учебные модели – используются при обучении;

Опытные – это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Используют для исследования и прогнозирования его будущих характеристик

Научно - технические -  создаются для исследования процессов и явлений

Игровые – репетиция поведения объекта в различных условиях

Имитационные – отражение реальности в той или иной степени 

2) Классификация моделей по фактору времени:

Статические – модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). 

Динамические – модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). 

3) Классификация моделей по отрасли знаний - это классификация по отрасли деятельности человека: экономические, социальные, географические и т.д.

4) Классификация моделей по форме представления :

Материальные – это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. 

Абстрактные (нематериальные) – не имеют реального воплощения. Их основу составляет информация. Это теоретический метод познания окружающей среды. По признаку реализации они бывают:  мысленные и вербальные; информационные

Мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель сопутствует сознательной деятельности человека.

Вербальные – мысленные модели выраженные в разговорной форме. Используется для передачи мыслей

Информационные модели – целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойств

Подходы к реализации численных методов

Существуют различные подходы к реализации численных методов. Тради­ционный подход предполагает построение алгоритма метода с последующим программированием на языке высокого уровня. В последнее время широко ис­пользуются специализированные программные продукты - математические па­кеты типа MathCad, которые существенно упрощают процесс составления ал­горитма и обладают встроенными библиотеками и графическими возможно­стями.

Этапы реализации численных методов

Вычислительная техника нашла эффективное применение при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях. Действительно, современные компьютеры за одну секунду выполняют такой объем вычислений, на который человеку не хватит всей жизни.

При решении задачи на компьютере основная роль все-таки принадлежит человеку Машина лишь выполняет его задания по разработанной программе. Роль человека и машины легко уяснить, если процесс решения задачи разбить на следующие этапы.

• Постановка задачи. Этот этап заключается в содержательной (физической) постановке задачи и определении конечных целей решения.

• Построение математической модели (математическая формулировка задачи). Модель должна правильно (адекватно) описывать основные законы физического процесса. Построение или выбор математи­ческой модели из существующих требует глубокого понимания проблемы и знания соответствующих разделов математики.

• Разработка численного метода. Поскольку компьютер может выполнять лишь простейшие операции, он «не понимает» постанов­ки задачи даже в математической формулировке. Для ее решения должен быть найден численный метод, позволяющий свести задачу к некоторому вычислительному алгоритму. Разработкой численных методов занимаются специалисты в области вычислительной математики. Специалисту прикладнику для решения задачи, как правило, необходимо из имеющегося арсенала методов выбрать тот, который наиболее пригоден в данном кон­кретном случае.

• Разработка алгоритма. Процесс решения задачи (вычислительный процесс) записывается в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций, приводящей к конечному резуль­тату и называемой алгоритмом решения задачи. Алгоритм можно наглядно изобразить в виде блок-схемы, структурограммы и т. п. Опытный вычислитель зачастую может и не прибегать к такому наглядному представлению алгоритма, непосредственно переходя к следующему этапу.

• Программирование. Алгоритм решения задачи записывается на понятном машине языке в виде точно определенной последовательности

Виды погрешностей численных методов

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения. определяется формулой

­­

где а – приближение к точному значению А.

Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа.

Таким образом, если — приближенное значение числа х, то выражения для абсолютной и относительной погрешностей запишутся соответственно в виде:

К сожалению, истинное значение величины х обычно неизвестно. Поэтому приведенные выражения для погрешностей практически не могут быть использованы. Имеется лишь приближенное значение а, и нужно найти его предельную погрешность , являющуюся верхней оценкой модуля абсолютной погрешности,

т. е.:

В дальнейшем значение Δa принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа а. В этом случае истинное значение х находится в интервале 

39. Что понимается под понятиями: сходимость метода, корректность метода, устойчивость метода

Рассмотрим погрешности исходных данных. Поскольку это так называемые неустранимые погрешности и вычислитель не может с ними бороться, то нужно хотя бы иметь представление об их влиянии на точность окончательных результатов. Некоторые задачи весьма чувствительны к неточностям в исходных данных. Эта чувствительность характеризуется так называемой устойчивостью.

Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины находится значение искомой величины . Если исходная величина имеет абсолютную погрешность, то решение имеет погрешность . Задача называется устойчивой по исходному параметру , если решение непрерывно от него зависит, т. е. малое приращение исходной величины приводит к малому приращению искомой величины .

Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату. О подобных неустойчивых задачах также говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.

Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

Если задача поставлена некорректно, то применять для ее решения численные методы, как правило, нецелесообразно, поскольку возникающие в расчетах погрешности округлений будут сильно возрастать в ходе вычислений, что приведет к значительному искажению результатов.

Иногда при решении корректно поставленной задачи может оказаться неустойчивым метод ее решения. Численный метод называется корректным в случае существования и единственности численного решения при любых значениях исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно погрешностей исходных данных.

При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Она означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению. Строгие определения разных оценок близости могут быть даны лишь с привлечением аппарата функционального анализа.

2. Во сколько раз уменьшится информационный объем страницы текста (текст не содержит управляющих символов форматирования) при его преобразовании из кодировки Unicode (таблица кодировки содержит 65536 символов) в кодировку Windows CP-1251 (таблица кодировки содержит 256 символов)?