2.3. Нахождение кривой спроса (влияние цены на изменение величины спроса)

Анализ модели потребительского выбора показывает, как при заданных потребительских предпочтениях, доходе и ценах найти количества благ, которые хотел бы купить потребитель. Если менять цену одного блага при прочих неизменных условиях, то мы получим зависимость между ценой данного блага и величиной спроса на него, т.е. кривую спроса.

Найдем кривую спроса для функции полезности с внутренним оптимумом. В этом случае оптимальный набор должен удовлетворять 2-м условиям:

Р х + Р у = I (1)

MRS = = (2)

х, у > 0 (3)

Пусть U(x, y) = x·y, тогда получаем

Р х + Р у = I (1΄)

= (2΄)

х, у > 0 (3΄)

Пусть доход и цена блага у являются неизменными величинами, меняется только цена блага х. Выразим у из уравнения (2΄) и подставим в уравнение (1΄):

Р х + Р ·( ·х) = I.

Отсюда, x = . Полученная зависимость х от Р и есть искомая функция спроса на товар х. Аналогично, считая доход и цену блага х заданными постоянными величинами, можно вычислить функцию спроса на благо у: у = .

Найдем в общем виде функции спрос на блага х и у, если предпочтения потребителя заданы в виде функции Кобба-Дугласа, т.е. U(х, у) = AX Y . Запишем условия оптимального выбора:

Р х + Р у = I (1)

MRS = = (2)

х, у > 0 (3)

Выразим у из (2)-го уравнения. Получим у = . Подставим это значение в уравнение (1) и найдем функцию спроса на благо х: х = .

Аналогично найдем у = .

Функции спроса на благо х и на благо у имеют постоянную эластичность по цене, равную – 1. Перекрестная эластичность спроса на благо х по цене Р (Е ) равна 0. Аналогично, Е = 0. К примеру, если меняется только цена Р , то изменяется спрос на благо х, потребление блага у остается неизменным.

Допустим, цена на благо х падает (Р , I – const), тогда в оптимальной корзине потребителя увеличивается количество блага х, но количество блага у остается постоянным. Покажем это на графике.

у у

А А

у = Е Е Е у Е

А U

U U у Е

U А U

у Е U

В В В В

х х х х х = х

Рис. 2.18.

Если падает цена на благо у (Р , I – const), то в оптимальной корзине потребителя не меняется количество блага х, количество блага у увеличивается.

Используя функции спроса, независимость благ х и у при анализе перекрестной эластичности по цене можно показать на графике следующим образом:

Р D Р D

у = у х = х

Рис. 2.19.

Найдем эластичность спроса на благо х по доходу:

Е = = = 1.

Аналогично, Е = 1.

Следовательно, оба блага являются для потребителя нормальными. Далее этот факт будет использован при построении кривой Энгеля.

Числовой пример 2.10.

Пусть U(x, y) = x·y . Доход потребителя I = 40, Р = 4. Зададим три цены товара х: Р = 4, Р = 2, Р = 1 и для каждого значения цены товара х найдем величину спроса на товар х, используя модель потребительского выбора.

Решение.

Найдем MU = y , MU = 4x·y и MRS = . Пусть Р = 4. Тогда должны выполняться условия:

4х + 4у = 40

= х = 2, у = 8

Если Р = 2, то получим систему:

2х + 4у = 40

= х = 4, у = 8

Если Р = 1, то получим систему:

1х + 4у = 40

= х = 8, у = 8

Покажем найденные точки с помощью кривых безразличия и построим кривую спроса на благо х:

у

10

АВС – линия цена-потребление

8 А В С (в данном примере это прямая, т.к.

потребление блага у остается неизменным)

(Р = 4) (Р = 2) (Р = 1)

2 4 8 10 20 40 х

Р

4 А΄

2 В΄

1 С΄

D

2 4 8 х

Рис. 2.20.

Зная оптимальный выбор потребителя, найдем в общем виде функцию спроса на благо х. Запишем условия внутреннего оптимума:

Р х + Р у = I

MRS = =

х, у > 0

Отсюда, х = (*).

Зная функцию спроса на благо х в общем виде, можно для разных значений цены Р найти величину спроса и построить кривую спроса, не решая на каждом шаге задачу оптимального выбора.

Убедимся, что найденная зависимость (*) дает те же значения х, что и модель оптимального выбора:

при Р = 4 получаем х = = 2;

при Р = 2 х = = 4;

при Р = 1 х = = 8.

Убедитесь самостоятельно в том, что при заданных потребительских предпочтениях спрос на благо у имеет вид у = · . Следовательно, при фиксированном доходе и цене блага у изменение цены блага х не влияет на значение функции спроса на благо у. Аналогичный вывод справедлив и для функции спроса на благо х.

Рассмотрим нахождение функции спроса, если потребитель может выбрать угловое равновесие. Используем функцию полезности, приведенную в числовом примере 2.8.

Запишем в общем виде условия оптимального выбора:

Р х + Р у = I

= или Р х = Р у + 10 Р .

Решим эту систему относительно у. Получим у = .

Данное равенство выражает функцию спроса на благо у (при заданном доходе и изменяющейся цене блага у).

Очевидно, что спрос на благо у будет положительным, если I - 10 Р > 0, отсюда

Р < .

Когда Р = , потребитель не покупает вообще благо у. Докажем, что при Р > потребитель выберет угловое равновесие. Т.к. при угловом равновесии у = 0, то весь доход потребитель тратит только на благо х, т.е. х = .

В этом случае для блага х = = .

Для блага у = = .

Заметьте, что потребитель покупает только благо х, если > или

> . Отсюда получаем, что при угловом равновесии должно выполняться неравенство Р > . Таким образом, если Р > , то потребитель выберет «угловую» корзину с координатами х = , у = 0.

Таким образом, в общем виде функция спроса на благо у выглядит следующим образом:

у = , если Р ≤

0 , если Р > .

Пусть I = 10. Зададим несколько значений Р и соответственно у в виде таблицы:

Р	2	4	5	10	12
у	20	7,5	5	0	0

Покажем функцию спроса на графике:

Р

12

10

5

4

2

5 7,5 20 у

Рис. 2.21.

Обратите внимание, что в рассмотренном примере 2.8. при доходе I = 10 была задана цена блага у, равная 2. При этих значениях цены и дохода выполняется неравенство

Р > (2 > ), следовательно, потребитель не купит благо у (у = 0), т.е. выберет угловое равновесие, что и получено при решении.