2.2. Решение задач потребительского выбора для специальных функций полезности.
1 случай. Функции полезности – прямые линии (товары – совершенные заменители)
В общем случае такая функция имеет вид U(x, y) = ax + by, где a, b > 0.
у
Наклон
этих прямых постоянен и равен -
.
Х
MRS = = . Рис. 2.3.
Обратите внимание, что в этом случае линии безразличия пересекают оси координат, следовательно, в оптимальную корзину потребителя может входить не два блага, а только одно. Такое равновесие потребителя называют угловым.
Следует иметь в виду, что кривые безразличия могут пересекать оси координат, но потребитель выбирает внутренний оптимум. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Числовой пример 2.2.
Предпочтения
потребителя представлены функцией U
=
+
,
где Н и М – взаимозаменяемые блага.
Доход потребителя за неделю составляет
24 ден.ед. Цены заданы как Р
= 2, Р
= 1. Сколько блага Н и блага М будет
покупать каждую неделю потребитель,
если он максимизирует свою полезность?
Решение.
Найдем предельную норму замещения для данной функции полезности.
MRS
=
=
=
.
При снижении М и увеличении Н MRS > 0 и является убывающей функцией.
Если
функцию полезности записать в виде
= U -
(*)
или М = (U -
)
,
то очевидно, что М = 0 (кривая пересекает
горизонтальную ось) при Н = U
.
При Н = 0 кривая безразличия пересекает
вертикальную ось в т. М = U
.
Следовательно, можно представить карту
кривых безразличий следующим образом
(мы учитывали только левую ветку параболы
(*), имеющей отрицательный наклон):
M
36 M = 4H
20
16
E
U = 6
4 12 36 H
Рис. 2.4.
В точке оптимума
должно выполняться условие касания
кривой безразличия и бюджетной линии
потребителя, т.е. MRS
=
=
=
=
.
Отсюда, М = 4Н.
Поскольку
2Н + М = 24, то оптимальный набор благ
составляет Н
=
4; М
=
16. Оптимальный уровень полезности U
=
+
=
6.
При данных предпочтениях потребитель всегда выбирает набор, в котором благо М в 4 раза больше, чем благо Н, т.е. допустимые наборы благ лежат на прямой М = 4Н. Оптимальный выбор определяется как точка пересечения прямой М = 4Н и бюджетной линии 2Н + М = 24, что эквивалентно нахождению точки касания бюджетной линии и кривой безразличия 6 = + .
Это наивысший уровень полезности, который может быть достигнут при заданных ценах и уровне дохода.
Таким образом, в данном примере кривые безразличия пересекают оси координат, но оптимум является внутренним (Н > 0, М > 0).
Вернемся к анализу углового равновесия в общем случае для линейной функции полезности.
Пусть U(x, y) = (ax + by) max
Бюджетная линия АВ: Р х + Р у = I.
Поскольку товары х и у являются совершенными заменителями (MRS = const) и потребитель стремится максимизировать полезность, то его потребительская корзина будет состоять только из одного блага. Формально это можно определить следующим образом.
Обозначим наклон бюджетного ограничения (без учета знака) = tgβ, наклон линии полезности (без учета знака) = tgα.
У У
А у
= у
А'
Бюджетная
линия
Линии
полезности
А
Линия
полезности
β
α
β α х
= x
В
В' Х
В Х
Рис. 2.5.
Если tgα < tgβ, то потребитель выберет набор х = 0, у = у > 0.
Если tgα > tgβ, то потребитель выберет набор х = x , у = 0*).
Содержательный
смысл приведенных выше соотношений
заключается в следующем. При линейной
функции полезности MU
= a, MU
= b. Если MRS
=
>
(tgα > tgβ),
то
>
.
Следовательно, в данном случае предельная полезность 1 ден.ед., потраченной на покупку товара х, выше, чем предельная полезность 1 ден.ед., потраченной на покупку товара у. Чтобы увеличить общую полезность U(x, y), потребитель должен потратить больше денег на покупку товара х и сократить потребление товара у. Таким образом, оптимальным набором будет угловая точка В, в которой у = 0, х = .
При этом U(х , у ) = a· + b·0 = a .
Обратите внимание, что при угловом равновесии равенство
MRS = = = не достигается.
Если
<
или
<
,
то потребитель тоже выберет угловое
равновесие, но т.А, в которой х
=
0, у
=
,
U(х
,
у
)
= b
.
В данном случае для увеличения полезности
потребитель должен весь имеющийся у
него доход потратить только на
покупку товара у. При этом равенство
MRS
=
=
не может быть достигнуто.
Числовой пример 2.3.
Функция полезности потребителя U(x, y) = 3x + y. Пусть Р = 2, Р = 1, I = 24.
Найдите оптимальный набор для потребителя.
Решение.
Товары х и у являются для потребителя совершенными заменителями, причем
MRS = = 3 = const. Следовательно, потребитель всегда отказывается от 3 ед. товара у, чтобы увеличить на 1 ед. количество товара х в наборе, не меняя при этом уровень полезности. Таким образом, если отложить товар х по горизонтали, а товар у по вертикали, то наклон любой линии полезности будет равен – 3.
Наклон бюджетной линии равен - = -2. Очевидно, в данном случае, чтобы максимизировать полезность, потребитель должен вообще не покупать товар у и все деньги потратить на покупку товара х. В этом случае его оптимальный набор Е(х, у):
у
=
0; х
=
=
= 12. Максимальный уровень полезности
U(x, y)
= 3·12 = 36.
Обратите внимание, что в данном примере MRS = 3 > = 2 или
=
>
= 1.
Таким образом, предельная полезность 1 ден.ед., затрачиваемой на покупку товара х, выше предельной полезности 1 ден.ед., затрачиваемой на товар у. Следовательно, чтобы увеличить полезность, потребитель будет стремиться покупать больше товара х, вытесняя товар у из набора до тех пор, пока весь бюджет не будет потрачен только на товар х. Мы получили угловое решение х = 12, у = 0 (рис. 2.6).
у
24
бюджетное
ограничение 2х + у = 24
U = 3х + у
угловое решение
12 х
Рис. 2.6.
Числовой пример 2.4.
Допустим, функция полезности у потребителя осталась прежней, т.е. U(x, y) = 3x + y, но Р = 4, Р = 1, I = 24. Найдите оптимальный набор для потребителя.
Решение.
Предпочтения потребителя остались прежними: MRS = = 3.
Соотношение цен изменилось. Соответственно, наклон бюджетного ограничения равен
-
= -
= - 4. Таким образом, MRS
.
Теперь
=
<
=
,
т.е. потребитель будет в наборе замещать
товар х товаром у до тех пор, пока весь
доход не израсходует на покупку только
товара у. Оптимальным является угловое
равновесие:
х
= 0, у =
= 24 (рис. 2.7).
у
угловой
оптимум
24
бюджетное
ограничение 4х + у = 24
U = 3х + у
6 х
Рис. 2.7.
2-й случай. Функции полезности с жестко дополняющими благами.
Товары не являются заменителями. Напротив, потребители рассматривают товары как дополняющие друг друга в потреблении (например, левый и правый ботинок). В этом случае товары входят в потребительский набор в определенном соотношении. В общем виде функция полезности может быть записана так:
U(x, y) = min{ax, by}.
Коэффициенты а и b показывают соотношение, в котором товары х и у должны входить в потребительский набор. При данных предпочтениях потребитель всегда выбирает набор, в котором ах = bу или = .
Таким образом, допустимые наборы лежат на прямой у = ·х и нахождение оптимального набора определяется значениями дохода и цен на товары.
Если I
= Р
х
+ Р
у,
то х
=
=
,
у
=
=
.
Графически карта кривых безразличия выглядит так:
Y
D
K
C
U
B
U
A
U
N X
Рис. 2.8.
Если задано бюджетное ограничение КN, то в качестве оптимального набора потребитель выберет т.С. Как бы не менялись цены товаров и величина дохода, потребитель всегда выберет набор, находящийся на луче OD, где = .
Рассмотрим численный пример.
Числовой пример 2.5.
Функция полезности потребителя имеет вид U(x, y) = min{x, 3y}. Цены благ Р = 2,
Р = 1. Доход потребителя равен 140.
Определите координаты точки равновесия потребителя.
Решение.
Данная
функция полезности характеризует такие
предпочтения потребителя, при которых
товары являются дополняющими друг друга
в наборе. В данном примере товары х и у
всегда входят в набор в соотношении
=
.
Следовательно, оптимальный набор может
быть найден из условий:
х
= 2у х
= 60
2х + у = 140 у = 20
Y
У
=
E
20
Х
70
Рис. 2.9.
Следует иметь в виду, что в случае взаимодополняемости благ карта кривых безразличия не всегда образуется в виде прямых углов. Допустим, предпочтения потребителя заданы следующим образом: U(x, y) = min{a x + b y; a x + b y}.
Если a x + b y < a x + b y, то U(x, y) = a x + b y.
Если a x + b y > a x + b y, то U(x, y) = a x + b y.
Объединив эти два случая, можно записать целевую функцию следующим образом:
U(x,
y) = a
x
+ b
y,
если у >
·х
a x + b y, если у ≤ ·х*)
Чтобы максимизировать полезность при заданном бюджетном ограничении, потребитель должен выбрать набор на прямой a x + b y = a x + b y. Отсюда,
у(b - b ) = х(a - a ). Если обозначить а = a - a , b = b - b , то получим у = ·х**).
Таким образом,
если блага абсолютно взаимодополняемы,
то оптимальный набор находится на прямой
у =
·х
в точке ее пересечения с бюджетным
ограничением.
Графически такая целевая функция представляет собой две прямые, пересекающиеся не под прямым углом.
Рассмотрим пример.
Числовой пример 2.6.
Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров – х и у. Функция полезности для него имеет вид: U(x, y) = min{4x; 2x + y}. Нарисуйте карту кривых безразличия. Какой выбор сделает потребитель, если Р = 3, Р = 1, доход равен 20 ден.ед.?
Решение.
Чтобы представить карту кривых безразличия, запишем функцию полезности следующим образом:
U(x, y) = 4x, если у > 2х
2x + y, если у ≤ 2х.
Данные предпочтения графически можно показать следующим образом:
область значений у > 2х
у
у
= 2х
20
область
значений у < 2х
8
Е
4
2 4 6 20/3 х
Рис. 2.10.
О птимальный набор должен удовлетворять следующим условиям:
у = 2х х = 4
3х + у = 20 у = 8
3-й случай: квазилинейные предпочтения
Квазилинейная функция полезности имеет вид:
U(x, y) = υ(х) + bу, (1)
где
υ(х) есть возрастающая от х функция
(например, υ(х) =
,
υ(х) = х
и
т.п.), b – положительная
константа.
Эта функция полезности является линейной относительно у и нелинейной относительно х.
Если функция полезности является линейной относительно х и нелинейной относительно у, то можно в общем виде представить ее следующим образом:
U(x, y) = ax + ω(y), (2)
где ω(y) – возрастающая функция, а > 0.
Рассмотрим на графике карту безразличия для функции типа (1):
у
у
А
В
у
U
y С U
U
x x
Рис. 2.11. Функция полезности нелинейна относительно х
Отличительная
особенность квазилинейной функции
полезности заключается в том, что MRS
остается постоянной при переходе от
кривой безразличия U
к U
,
U
…
вверх («на север») и фиксированном
значении х = x
.
Другими словами, кривые безразличия
параллельны друг другу, если мы движемся
вертикально. При этом они пересекают
оси координат х и у. Действительно, MRS
=
=
.
Величина MRS
зависит только от значения х.
К
вазилинейная
функция полезности (2) имеет следующую
графическую интерпретацию:
у
U
U
U
у
А В С
х х х х
Рис. 2.12. Функция полезности нелинейна относительно у
Эта функция линейна
относительно переменной х, поэтому MRS
=
.
Таким образом, величина MRS
зависит только от значения у. При у =
у
MRS
(А)
= MRS
(В)
= MRS
(С)
и т.д. Потребительские корзины А, В, С
содержат одинаковое количество блага
у = у
,
меняется только количество блага х. При
этом предельная норма замещения блага
у благом х остается постоянной при
движении вдоль оси ОХ. Кривые безразличия
параллельны друг другу и пересекают
как ось х-ов, так и ось у-ов.
В дальнейшем мы увидим, что квазилинейные функции полезности могут описывать предпочтения потребителя, который покупает одинаковое количество товара независимо от величины его дохода.
Рассмотрим достижение равновесия потребителя, имеющего квазилинейные предпочтения на численном примере.
Числовой пример 2.7.
U(x, y) = 2 + y. Р =1, Р = 2, I = 10. Найдите оптимальный выбор потребителя.
Решение.
Найдем
предельную норму замещения. Поскольку
MU
=
,
MU
= 1, то предельная норма замещения блага
у благом х зависит только от количества
блага х и не зависит от количества
блага у: MRS
=
=
.
Если зафиксировать количество блага х
в наборе, то MRS
будет постоянной величиной, как бы не
менялось количество блага у. Поскольку
с увеличением х величина MRS
падает, то данным предпочтениям
соответствуют кривые безразличия с
отрицательным наклоном, выпуклые к
началу координат и пересекающие обе
оси, как показано на рис. 2.13.
у
u
u
у
А
В
у
y С
x (u ) (u ) x
Рис. 2.13.
В общем случае для
максимизации полезности нужно найти
точку касания данной бюджетной линии
(наклон = -
)
и кривой безразличия, т.е. должно
выполняться условие
=
,
отсюда х =
.
Поскольку Р
>
0, Р
>
0, то х > 0, причем величина спроса на х
не зависит от дохода. Следовательно, в
оптимальную корзину потребителя всегда
входит некоторое количество блага х и
«левое» угловое равновесие вида х = 0,
у > 0 не может быть оптимальным. При снижении цены на благо х относительно блага у потребитель будет стремиться заменить товаром х товар у в оптимальном наборе, т.е. будет стремиться к «правому» угловому равновесию. В случае углового равновесия
х
=
>
0, у = 0. Весь доход тратится только на
благо х, т.е. I = P
·x
=
(*).
Таким образом, анализ квазилинейной функции показывает, что потребитель может выбрать набор благ, находящийся в любой точке кривой безразличия, включая точки пересечения кривой безразличия с осями координат. Следовательно, в этой ситуации оптимум потребителя может быть как внутренним, так и угловым. Решение зависит от конкретных значений I, P , Р .
Вернемся к нашему примеру. Для оптимального выбора должны выполняться условия:
=
=
1·х + 2·у = 10
Отсюда получаем х = 4, у = 3. U ( х , у ) = 2 + 3 = 7.
Итак, при заданных ценах и доходе в оптимальную корзину должно входить не только благо х, но и благо у. Если при тех же ценах на блага будет увеличиваться доход потребителя, то спрос на благо х останется неизменным, а спрос на благо у будет расти. Покажем решение на графике.
у
7
5
Е
3
х
4
10
≈
12,5
рис. 2.14.
Изменим
теперь исходное условие задачи, чтобы
показать возможность существования
углового равновесия. Пусть при тех же
предпочтениях Р
=
1, Р
=
10, I = 100. Поскольку товар
х стал относительно дешевле, то дробь
уменьшилась. Мы видели, что функция MRS
=
является убывающей при росте х, причем
кривая безразличия пересекает ось х-ов.
Следовательно, стремясь достичь
равновесия, потребитель будет увеличивать
в корзине количество товара х, замещая
им товар у и даже полностью вытеснив
товар у. Поскольку должно выполняться
условие MRS
=
=
,
то х
=
= 100.
Очевидно, при таком выборе весь доход потребитель потратит только на благо х, выбрав угловое равновесие (у = 0).
Этот же результат можно было получить, сравнив доход с величиной (см. формулу *).
С
ледует
обратить внимание на то, что в точке
углового оптимума для квази-линейной
функции выполняется условие касания
данного бюджетного ограничения и
наивысшей кривой безразличия.
Покажем угловое равновесие для данной функции полезности на графике.
у
20
кривая безразличия U
= 2
+ у = 20
бюджетное ограничение 1·х + 10·у = 100
10
наклон = - 1/10
точка
оптимума х = 100; у =0
В
100 х
Рис. 2.15. наклон кривой безразличия в
точке
оптимума равен -
= -
Подводя итог сказанному, покажем на примере, что для правильного решения задачи оптимального выбора потребителя необходимо, прежде всего, уяснить вид заданной функции полезности и представить карту кривых безразличия.
Числовой пример 2.8.
Потребитель имеет функцию полезности U(x, y) = xy + 10x. Его доход I = 10. Цены благ: Р = 1, Р = 2. Найдите оптимальный набор потребителя.
Решение.
Найдем
предельную норму замещения функции
полезности MRS
=
=
.
Поскольку при х > 0, у ≥0 MU
> 0, MU
> 0, то кривые безразличия имеют
отрицательный наклон. Величина MRS
является убывающей при росте х и
уменьшении у, следовательно, кривая
безразличия является выпуклой к началу
координат. Наконец, кривая безразличия
пересекает ось х-ов, т.к. U(x,
y) > 0 при х > 0 и у = 0. Таким
образом, потребитель может отказаться
вообще от товара у в потребительской
корзине, покупая только благо х.
(Заметьте, что не покупать вообще благо
х (х = 0), а покупать только благо у
потребитель не может, т.к. в этом случае
его уровень полезности был бы нулевым).
Это означает, что оптимум может быть
угловым, т.е. в потребительскую корзину
может входить только одно благо. Покажем,
что при заданных предпочтениях, ценах
и доходе потребитель действительно не
выберет корзину с двумя благами, т.е.
его оптимальный выбор не может быть
внутренним. Для внутреннего оптимума
должны выполняться условия:
=
1·х + 2·у = 10, отсюда получаем х = 15, у = - 2,5
Данный алгебраический ответ не имеет экономического смысла, поскольку объемы покупаемых благ должны быть неотрицательными. Таким образом, на бюджетном ограничении нет потребительского набора, при котором бюджетная линия является касательной к кривой безразличия. Следовательно, оптимум должен быть в угловой точке. Покажем оптимальный выбор на графике.
у
U = 80 U = 100
U
= 112,5
A
5
R
8 10 15 x
- 2,5
Рис. 2.16.
Наклон кривой безразличия в т. R равен - = - 1.
Наклон бюджетного ограничения AR равен - = - .
Как видно на графике, оптимальной будет корзина в т.R, где х = 10, у = 0. При этом наборе MU = y + 10 = 10, MU = x = 10. Следовательно, ≠ = . Или, что то же самое, = 10 > = 5. Потребитель хотел бы купить больше товара х и меньше товара у, но не может это сделать, т.к. в точке углового равновесия R благо у полностью вытеснено благом х и дальнейшее увеличение блага х в наборе невозможно. Следовательно, потребитель достиг наивысшей полезности при заданном бюджетной ограничении. На графике также видно, что бюджетное ограничение не является касательной к кривой безразличия в точке углового равновесия (в отличие от квазилинейной функции).
До сих пор, изучая поведение потребителя, мы рассматривали бюджетное ограничение в виде прямой линии при неизменных ценах на товары. Однако бюджетное ограничение может иметь вид ломаной линии, что влияет на потребительский выбор.
Числовой пример 2.9.
Предположим, что продавец продает товар х по цене Р = 2, если вы покупаете не больше 200 единиц товара и по цене Р = 0,5 за каждую единицу товара, купленного сверх этого количества. Цена товара у постоянна и равна 1.
Запишите и покажите бюджетное ограничение потребителя, если его доход равен 500 ден.ед.
Возможно ли существование не единственной точки равновесия потребителя в этом случае?
Решение.
1. Поскольку цена товара не является постоянной для потребителя, а зависит от количества купленного товара, то бюджетное ограничение представляет собой ломаную линию. Излом наступает в точке х = 200, поскольку при х ≤ 200 Р = 2, но при х > 200 Р = 0,5.
Запишем бюджетное ограничение потребителя.
Если х ≤ 200, то бюджетная линия имеет вид 500 = 2х + у или у = 500 – 2х.
Если х > 200, то бюджет расходуется следующим образом: 500 = 2·200 + 0,5(х – 200) + у или у = 200 – 0,5х.
О бъединив эти два уравнения, получим:
у = 500 – 2х, х ≤ 200
у = 200 – 0,5х, х > 200
у
Е
100
А
Е
200 х
Рис. 2.17.
2. В ситуации, показанной на рис. 2.17 может существовать не единственное оптимальное решение, т.к. кривая безразличия может иметь две точки касания, соответствующих двум «веткам» бюджетного ограничения (точки Е и Е , например).