2.2Метод Неймана

Метод используется для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (случайные величины с усеченными законами распределения), а также случайных величин, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Усеченный закон распределения случайной величины

Суть метода заключается в выполнении последовательности действий:

1) из внутреннего датчика равномерно распределенных случайных величин неза­висимо выбираются пары чисел и ;

2) из них формируются другие случайные числа по следующим правилам:

, (2.1)

, (2.2)

где , - границы интервала определения случайной величины ,

- максимальное значение на интервале определения случайной величины (см. рис.2.1).

После преобразования становится равномерно распределена от до , а - от до .

3) в качестве -й реализации случайной величины берется число из тех пар чисел, для которых выполняется условие:

. (2.3)

Пары, не удовлетворяющие этому неравенству, выбрасываются, и на шаге происходит возврат к первому пункту (новая выборка пары чисел и ).

Пары случайных чисел и можно рассматривать как координаты случайных точек на плоскости, равномерно распределенных вдоль осей и внутри прямоугольника (рис.2.2).

Пары, удовлетворяющие неравенству - это координаты точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей внутри той части , которая расположена под кривой.

Рис. 2.2. К методу Неймана

Пример 2.2

Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей -распределение:

Из датчика равномерно распределенных от 0 до 1 случайных величин независимо выбираем два числа и и производим их преобразование:

(так как =0, =1);

(максимальное значение необходимо заранее определить аналитически или численными методами).

Далее проверяем условие:

.

Если оно выполняется, то в качестве -й реализации случайной величины с заданным законом распределения на шаге принимаем значение , если нет, то остаемся на шаге и повторяем все с начала.

2.3Метод кусочной аппроксимации

Пусть требуется получить случайную величину с функцией плотности распределения вероятности . Предположим, что область возможных значений величины ограничена интервалом , т.е. неограниченное распределение заменим ограниченным (усеченным).

Разобьем интервал на достаточно малых подынтервалов , где ; ; ; таким образом, чтобы внутри каждого подынтервала распределение заданной случайной величины можно было аппроксимировать каким-нибудь более простым распределением, например, равномерным (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Разбиение отрезка на подынтервалов

Пусть - вероятность попадания случайной величины в каждый из подынтервалов. Тогда получать реализации с кусочно-равномерным распределением можно в соответствии со следующей схемой:

1. случайным образом с вероятностью выбирается подынтервал ;

2. формируется реализация случайной величины , равномерно распределенной в подынтервале ;

3. искомая реализация случайной величины получается в виде .

Случайный выбор подынтервала с вероятностью означает, по существу, моделирование дискретной случайной величины, принимающей значений ( ) с вероятностью (рис. 2.4).

Рис.2.4 Вероятности попадания случайной величины y в подынтервалы

Моделирование такой дискретной случайной величины проводится следующим образом. Отрезок прямой от 0 до 1 разбивается на подынтервалов длиной каждый. На шаге берем реализацию случайной величины равномерно распределенной от 0 до 1, и сравниваем ее с порогами , , ,… Если не превысила порог , то реализация искомой случайной величины будет находиться в первом подынтервале. Если превысила порог , но не превысила порог , то - во втором и так далее.

Пример 2.3

Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей следующий закон распределения (нормальное распределение с выбросами на концах):

Рис. 2.5 Нормальное распределение с выбросами на концах

Разобьем интервал определения случайной величины на 3 подынтервала: , , . Вероятности попадания случайной величины в крайние подынтервалы будут одинаковы и равны:

.

Вероятность попадания в центральный подынтервал будет равна:

.

На шаге берем реализацию случайной величины равномерно распределенной от 0 до 1 и сравниваем ее с порогами и . Если не превысила порог , то реализация искомой случайной величины на шаге будет находиться в первом подынтервале. Если превысила порог и не превысила порог , то будет находиться во втором подынтервале. Если же превысила оба порога, то будет находиться в третьем подынтервале.

Моделирование случайной величины в первом и третьем подынтервалах производится с помощью алгоритмов формирования случайных величин с равномерным законом распределения, во втором - с помощью алгоритмов формирования случайных величин с нормальным законом распределения:

,

,

,

где и - случайные величины с равномерным от 0 до 1 законом распределения.