1.2Метод комплексной огибающей

Если сигнал является узкополосным, то его можно представить в следующем виде:

. (1.5)

Если центральная частота системы обработки не совпадает с несущей частотой (центральной частотой спектра сигнала ), то появляется расстройка сигнала . Тогда сигнал можно записать в следующем виде:

, (1.6)

где .

В этом случае вся информация о сигнале заключена в комплексной огибающей , а комплексная несущая никакой информации не содержит и при моделировании может быть отброшена.

Комплексную огибающую общепринято представлять в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 1.3).

Рис. 1.3 Представление комплексной огибающей на комплексной плоскости

В полярной системе координат он задается длиной и углом наклона, а в декартовой характеризуется двумя квадратурными составляющими (квадратурами):

, (1.7)

где

; (1.8)

. (1.9)

Амплитуда (модуль) и фаза комплексной огибающей сигнала выражается через квадратурные составляющие следующим образом:

, (1.10)

. (1.11)

Пример 1.2

Комплексная огибающая гармонического колебания.

;

.

Рис. 1.4 Представление комплексной огибающей гармонического колебания

на комплексной плоскости

Пример 1.3

Комплексная огибающая узкополосного случайного процесса (шума).

; ;

.

Рис. 1.5 Представление комплексной огибающей шума на комплексной плоскости

Квадратуры узкополосного шума имеют нормальный закон распределения, амплитуда распределена по закону Релея, а фаза – по равномерному закону от 0 до .

Формирующая часть модели

Общий случай

В общем виде комплексная огибающая сигнала может быть представлена следующим образом:

, (1.12)

где - закон амплитудной модуляции сигнала,

- закон фазовой модуляции сигнала.

Квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала будут иметь вид:

(1.13)

Частные случаи

1. Амплитудная модуляция (АМ)

Пусть закон АМ имеет следующий вид:

(1.14)

где - коэффициент АМ.

Подставив выражения (1.14) в выражение (1.13) для квадратурных составляющих комплексной огибающей сигнала, получим:

(1.15)

Если расстройка сигнала отсутствует ( ), то квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала принимают следующий вид:

(1.16)

Рис. 1.6 Представление комплексной огибающей АМ сигнала на комплексной плоскости

2. Фазовая модуляция (ФМ)

Пусть закон ФМ имеет следующий вид:

(1.17)

где - максимальная девиация фазы.

Подставив выражения (1.17) в выражение (1.13) для квадратурных составляющих комплексной огибающей сигнала, получим:

(1.18)

Если расстройка сигнала отсутствует ( ), то квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала принимают следующий вид:

(1.19)

Рис. 1.7 Представление комплексной огибающей ФМ сигнала на комплексной плоскости

3. Частотная модуляция (ЧМ)

Пусть ЧМ-сигнал имеет следующий вид:

. (1.20)

где - комплексная огибающая гармонического сигнала ( );

- максимальная девиация частоты;

- начальная фаза сигнала.

Квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала:

(1.21)

Если расстройка сигнала отсутствует ( ), то квадратурные составляющие комплексной огибающей сигнала принимают следующий вид:

(1.22)