6.1Моделирование случайных полей методом скользящего суммирования

Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного поля можно сформировать с помощью алгоритмов пространственно-временного скользящего суммирования -поля, аналогичных алгоритмам скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.

Пусть задана импульсная характеристика пространственно-временного фильтра (ПВФ) , формирующего из -поля случайное поле с заданной спектральной или корреляционной функциями.

Рис. 6.1 Формирование случайного поля с заданными характеристиками

из - поля

Если она не задана, то ее можно найти через передаточную функцию ПВФ K(js,jω) или заданную спектральную плотность случайного поля:

. (6.4)

Также как и в одномерном случае, используется идея формирующего фильтра, а сам процесс пространственно-временной фильтрации -поля получается в виде:

, (6.5)

где - исходное -поле.

Суммирование осуществляется по всем значениям , при которых слагаемые не являются пренебрежимо малыми или равными нулю.

Подготовительная работа и процесс суммирования упрощаются, если функцию можно представить в виде произведения:

. (6.6)

В этом случае корреляционная функция может быть представлена в виде произведения:

. (6.7)

Это позволяет свести сложный процесс четырехкратного суммирования к повторному применению однократного скользящего суммирования.

Пример 6.1

Пусть импульсная характеристика пространственного фильтра для формирования плоского скалярного поля имеет вид:

.

Тогда в соответствии с (6.5), получаем:

Заменяем двукратное суммирование двумя однократными скользящими суммированиями:

;

,

где ; ,

и - номера отсчетов по осям и соответственно;

- шаг дискретизации по оси ;

- шаг дискретизации по оси .

Отметим, что при первом суммировании обеспечивается корреляция вдоль оси , а при втором – вдоль оси .

6.2Моделирование случайных полей с помощью рекуррентных уравнений

Как и ранее при моделировании случайных процессов, рекуррентные уравнения могут быть использованы только для тех случайных полей, спектральная плотность которых может быть представлена в виде дробно-рациональной функции.

Моделирование в этом случае сводится к последовательному применению одномерных алгоритмов фильтрации.

Пример 6.2

Пусть требуется получить случайное поле, имеющее корреляционную функцию вида:

.

1) Сформируем -поле нужной размерности и заполняем его независимыми отсчетами с нормальным законом распределения .

2) С помощью алгоритмов моделирования случайных процессов (в данном случае с экспоненциальной корреляционной функцией) производим фильтрацию вдоль оси :

;

.

3) Производим аналогичную процедуру фильтрации вдоль оси :

;

.

4) Делаем нормировку по математическому ожиданию и среднеквадратическому отклонению.

6.3Моделирование случайных полей с законами распределения, отличными от нормального

Моделирование таких случайных полей осуществляется путем соответствующего нелинейного преобразования случайного поля с нормальным законом распределения. Используются известные методы (см. моделирование случайных процессов с различными законами распределения), например, для релеевского .