Случайный процесс с логарифмически-нормальным распределением

Аналитическое выражение для плотности закона распределения вероятности и статистические характеристики случайного процесса с логарифмически-нормальным законом распределения (математическое ожидание и дисперсия ) были уже приведены выше в 2.4:

; (4.59)

; .

Алгоритм, позволяющий получить случайный процесс с таким законом распределения, имеет вид:

, (4.60)

где - нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Можно показать, что корреляционная функция случайного процесса будет выражаться через нормированную корреляционную функцию исходного нормального случайного процесса следующим образом:

. (4.61)

С другой стороны, нормированная корреляционная функция случайного процесса с логарифмически-нормальным законом распределения может быть выражена следующим образом:

. (4.62)

Откуда корреляционная функция исходного процесса:

. (4.63)

Так как аргумент логарифма не может быть отрицательным, поэтому алгоритм может быть использован лишь в тех случаях, когда значения корреляционной функции превышают значение , т.е.

. (4.64)

Рис.4.22 Случайный процесс с логарифмически-нормальным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией (временная реализация)

4.5Моделирование многомерных нормальных случайных процессов

Под многомерными случайными процессами будем понимать совокупность стационарных и стационарно связанных между собой случайных процессов. Корреляционные связи между ними существуют как во времени, так и в пространстве.

, (4.65)

где - размерность многомерного случайного процесса;

- индекс дискретного времени (номер отсчета).

Для упрощения записи в дальнейшем будем обозначать многомерный случайный процесс как .

Многомерные случайные процессы используются при моделировании многомерных (много­канальных) систем.

Рис. 4.23 Некоррелированные (а) и взаимокоррелированные (б) случайные процессы X и Y

Задача моделирования многомерных случайных процессов по их заданной многомерной плотности распределения вероятности достаточно сложная, поэтому рассмотрим здесь только моделирование многомерных нормальных стационарных случайных процессов.

Многомерный дискретный нормальный стационарный случайный процесс однозначно задается своей корреляционной матрицей:

, (4.66)

На главной диагонали корреляционной матрицы (при ) находятся автокорреляционные функции случайных процессов. Остальные элементы корреляционной матрицы (при ) представляют собой взаимнокорреляционные функции случайных процессов. Матрица является симметричной.

Иногда многомерные случайные процессы задаются своей спектральной матрицей . Корреляционная и спектральная матрицы однозначно связаны между собой через многомерное преобразование Фурье:

. (4.67)

Задачу цифрового моделирования многомерных нормальных случайных процессов сформулируем следующим образом. Пусть задана корреляционная матрица случайного процесса. Требуется отыскать алгоритм для формирования на ПК дискретных реализаций случайного процесса с заданными корреляционными свойствами.

Для решения этой задачи воспользуемся, как и ранее, идеей формирующего линейного фильтра. В данном случае речь идет о синтезе многомерного формирующего фильтра (рис. 4.24). -мерный линейный формирующий фильтр определяется как линейная динамическая система с входами и выходами.

Рис. 4.24 Многомерный формирующий фильтр

Если - входное воздействие, а - выходное, то связь между входом и выходом многомерного дискретного фильтра будет определяться выражением:

, (4.68)

где , - изображения выходных и входных сигналов в смысле дискретного преобразования Лапласа ( -преобразования);

- передаточная матрица дискретного многомерного фильтра. Например, для двумерного случая она будет выглядеть следующим образом:

, (4.69)

где каждый элемент матрицы является передаточной функцией одномерного фильтра.

Если раскрыть (4.68), то получим следующее выражение:

(4.70)

Рис. 4.25 Структурная схема двумерного формирующего фильтра

Фильтры и обеспечивают автокорреляцию, а фильтры и взаимную корреляцию случайных процессов, так как в образовании выходных сигналов и принимают участие одни и те же отсчеты входных сигналов и .

Пусть на вход -мерного линейного формирующего фильтра подан -мерный белый шум, т.е. процесс с корреляционной матрицей вида:

. (4.71)

Такой случайный процесс будем называть многомерным белым шумом. Он определен как совокупность независимых между собой -коррелированных случайных процессов.

При воздействии многомерного белого шума на вход формирующего фильтра спектральная матрица на его выходе будет иметь следующий вид:

, (4.72)

где - дискретное преобразование Лапласа.

Из этого выражения следует, что для получения многомерного случайного процесса с заданной спектральной матрицей , необходимо пропустить многомерный белый шум через многомерный формирующий фильтр с передаточной матрицей .

Для получения передаточной матрицы необходимо заданную спектральную матрицу представить в виде двух сомножителей, и такая процедура называется факторизацией. Это процедура достаточно трудоемка.

Сама фильтрация осуществляется следующим образом:

1. Формируются реализации дискретного белого шума ;

2. Пропускаются соответствующие реализации белого шума через одномерные фильтры с передаточными функциями ;

3. Реализации выходных сигналов образуются путем суммирования результатов прохождения белого шума через соответствующие одномерные фильтры.

Пример 4.4

Пусть требуется получить реализацию двумерного нормального случайного процесса с корреля­ционной матрицей следующего вида:

.

Каждая составляющая случайного процесса на выходе многомерного формирующего фильтра будет представлять собой сумму:

;

,

где

 - результат прохождения белого шума через формирующий фильтр, позволяющий получить случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией .

Такой алгоритм рассматривался ранее (4.16), он имеет вид:

;

;

 - результат прохождения белого шума через формирующий фильтр, позволяющий получить случайный процесс с корреляционной функцией .

Алгоритм будет иметь вид:

;

, ;

 - результат прохождения белого шума через аналогичный фильтр, поэтому алгоритм формирования будет такой же, как и ранее (только обратите внимание, что входное воздействие – другое!):

;

 - результат прохождения белого шума через формирующий фильтр, позволяющий получить случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией .

Алгоритм будет иметь следующий вид:

;

Здесь и - независимые между собой нормальные случайные последовательности с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями.

Рис.4.26 Двумерный случайный процесс