Литература

1. Пасынков В.В., Чиркин Л.К. Полупроводниковые приборы. СПб.: Издательство "Лань", 2001.

2. Степаненко И.П. Основы микроэлектроники. М.: Лаборатория базовых знаний, 2004.

3 Гуртов В.А. Твердотельная электроника. М.: Техносфера, 2007.

4. Ефимов И.Е., Козырь И.Я., Горбунов Ю.И. Микроэлектроника. М.: Высшая школа, 1986.

5. Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Твердотельная электроника. М.: Высшая школа, 1986.

6. Опадчий Ю.Ф., Глудкин О.П., Гуров А.Л. Аналоговая и цифровая электроника. М.: «Горячая Линия – Телеком», 1999.

7. Основы радиоэлектроники. Под ред. Г.Д. Петрухина М.: Издательство МАИ, 1993.

8. Киселев В.Ф., Козлов С.Н., Зотеев А.В. Основы физики поверхности твердого тела. М.: Издательство МГУ, 1999 г.

9. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. М.: Мир, 1984.

Приложение 1

Элементы квантовой механики и физической статистики

При физическом описании свойств твердых тел широко используются квантомеханические и статические представления. Чтобы избежать многочисленных ссылок на курс физики при изложении данного курса изложим основные положения квантовой механики и статической физики в краткой конспективной форме.

Волновые свойства частиц

К 20 веку было установлено, что атомные явления не могут быть описаны ни как движение частиц, ни как чисто волновые процессы. Так в явлениях дифракции, интерференции проявляется волновая природа света. В фотоэлектрических явлениях, эффекте Комптона (изменение частоты или длины волны фотонов при их рассеянии электронами) свет ведет себя как частица. В 1924 году французский физик де Бройль выдвинул гипотезу, что с каждым телом должна быть связана плоская волна.

,

где h – 6,6·10^-34 Дж·с – постоянная Планка, p – импульс.

Гипотеза де Бройля получила убедительное экспериментальное подтверждение. На волновых свойствах микрочастиц основана электронная микроскопия, нейтронография. Микрочастицы – электроны, протоны нельзя представить в виде дробинки, уменьшенной до соответствующих размеров. Качественным отличительным признаком микрочастиц является органическое сочетание в них корпускулярных и волновых свойств.

Уравнение Шредингера.

Поскольку микрочастицы обладают волновыми свойствами, то и закон их движения должен описываться волновым уравнением. Впервые такое уравнение было записано Эрвином Шредингером (Австрия). Для микрочастицы, движущейся в силовом поле и обладающей потенциальной энергией u(x,y,z,t) оно имеет вид:

,

где i= , -постоянная Планка, деленная на 2.

Функция Ψ(x,y,z,t) является решением этого уравнения и называется волновой функцией. Она имеет следующий физический смысл: произведение Ψ на функцию Ψ^* комплексно сопряженную с Ψ пропорционально вероятности того, что в момент времени t, микрочастица может быть обнаружена в выделенном объеме dV. Обозначим вероятность обнаружения микрочастицы в объеме dV через ω(x,y,z,t) dV. Тогда:

ω(x,y,z,t)dV= Ψ(x,y,z,t)Ψ^*(x,y,z,t)dV.

Интеграл , взятый по всему объему равен 1, т.к. он выражает достоверный факт, что микрочастица находится в этом объеме. Следовательно:

.

Это условие называется условием нормировки, а волновые функции, удовлетворяющие ему, называются нормированными.

Закон движения микрочастицы постоянно определяется заданием функции Ψ в каждый момент времени в каждой точке пространства.

Потенциальная энергия в общем случае является функцией координат и времени. Однако в большинстве практических задач u является функцией только координат. В этом случае волновую функцию Ψ(x,y,z,t) представляют в виде произведения функций Ψ(x,y,z) и φ(t):

Ψ(x,y,z,t) = Ψ(x,y,z)· φ(t). (1)

Рассмотрим движение микрочастицы вдоль оси Х. Тогда уравнение Шредингера можно записать:

. (2)

Подставим (2) в (1):

.

Делим обе части на :

Тогда левая часть уравнения зависит только от t, а правая только от х. Они могут быть равны друг другу только в том случае, если каждая равна одной и той же постоянной величине Е. Можно показать, что эта величина Е, есть полная энергия частицы Е. Можно записать приравнивая левую и правую части уравнения –Е:

, откуда

. (3) (3)

, откуда

. (4)

В общем случае уравнение (3) будет содержать вторые производные по другим координатам:

. (5)

Через оператор Лапласа это уравнение можно записать так:

.

Функция Ψ(x,y,z) зависящая только от координат называется амплитудной волновой функцией, а уравнение (5) амплитудным уравнением Шредингера.

Было доказано, что при движении микрочастицы в ограниченной области пространства амплитудное уравнение Шредингера имеет решение только при определенных значениях энергии Е – Е₁, Е₂…Е_n, называемых собственными значениями энергии частицы. Волновые функции Ψ₁, Ψ₂, Ψ₃,… Ψ_n, соответствующие этим энергиям, называются собственными волновыми функциями.

Решением уравнения (4) является:

,

где Е_n – одно из собственных значений энергии. Функция φ(t) выражает зависимость волновой функции Ψ(x,y,z,t) от времени. Эта зависимость является гармонической с частотой υ_n=Е_n / h или .

Если потенциальная энергия является функцией только координат, то решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде:

Ψ(x,y,z,t)= Ψ(x,y,z)exp(-iωt).

В этом случае вероятность обнаружения частицы в элементе объема равна:

ωdV=ΨΨ^*dV

и не зависит от времени. Следовательно, распределение вероятности в пространстве является стационарным. Состояния микрочастиц, удовлетворяющие этому условию, называются стационарными состояниями. Амплитудное уравнение описывает стационарное состояние микрочастиц.

Соотношения неопределенности Гейзенберга

К микрочастицам, обладающим волновыми свойствами, применять понятия классической механики, например понятия координат частицы и ее импульса можно лишь в ограниченной степени.

Пусть частица движется вдоль оси Х и обладает импульсом р_х. Такой частице соответствует волна λ=h/p_x, являющаяся по своей сущности протяженным объектом. Монохроматическая волна простирается по оси Х от -∞ до +∞. Следовательно, интервал локализации микрочастицы ∆х равен бесконечности. Т.е. микрочастица, имеющая определенный импульс р_х, не имеет определенной координаты х. Можно показать, что микрочастица, имеющая определенную координату, не имеет определенного импульса. В отличие от классической частицы состояние микрочастицы не может быть охарактеризовано заданием одновременно определенных координат и составляющих импульса. Задать состояние микрочастицы можно лишь допуская неопределенность в значениях координат и значениях составляющих импульса. Количественно эта неопределенность описывается соотношениями записанными Гейзенбергом в 1927г.

∆x∆p_x ≥ h; ∆y∆p_y ≥ h; ∆z∆p_z ≥ h,

т.к. p=mv, то

∆x∆v_x ≥ ; ∆y∆v_y ≥ ; ∆z∆v_z ≥ .

Из соотношений неопределенности следует, что чем точнее определяются координаты микрочастицы, тем неопределеннее становятся составляющие импульса. Поэтому бессмысленно говорить о траектории движения микрочастицы, т.е. о совокупности положений движущейся частицы в пространстве.

Соотношение неопределенности существует и между энергией и временем:

∆Е∆t ≥ h ,

где ∆t – время, в течение которого частица обладает энергией Е ∆Е.

Из соотношения неопределенности для энергии и времени следует, что неопределенность энергии возрастает при уменьшении времени пребывания микрочастицы в данном энергетическом состоянии.

Потенциальные барьеры для микрочастиц

Потенциальные барьеры и ямы для микрочастиц возникают, например, вследствие электрического взаимодействия электронов с ионами решетки в твердом теле, на границах раздела тел. Изменение потенциальной энергии частицы в зависимости от ее координат представляет собой потенциальный рельеф для этой частицы в заданном объеме. В кристаллах наблюдается периодический потенциальный рельеф, который в простейшем случае можно представить в виде совокупности одномерных прямоугольных барьеров, разделенных прямоугольными ямами.